译者序

前言

第一部分　一元实变量函数的Lebesgue积分

第0章　集合、映射与关系的预备知识2

　0.1　集合的并与交2

　0.2　集合间的映射3

　0.3　等价关系、选择公理以及Zorn引理3

第1章　实数集：集合、序列与函数6

　1.1　域、正性以及完备性公理6

　1.2　自然数与有理数9

　1.3　可数集与不可数集11

　1.4　实数的开集、闭集和Borel集13

　1.5　实数序列17

　1.6　实变量的连续实值函数21

第2章　Lebesgue测度25

　2.1　引言25

　2.2　Lebesgue外测度26

　2.3　Lebesgue可测集的σ代数29

　2.4　Lebesgue可测集的外逼近和内逼近33

　2.5　可数可加性、连续性以及Borel-Cantelli引理36

　2.6　不可测集39

　2.7　Cantor集和Cantor-Lebesgue函数41

第3章　Lebesgue可测函数45

　3.1　和、积与复合45

　3.2　序列的逐点极限与简单逼近49

　3.3　Littlewood的三个原理、Egoroff定理以及Lusin定理53

第4章　Lebesgue积分56

　4.1　Riemann积分56

　4.2　有限测度集上的有界可测函数的Lebesgue积分58

　4.3　非负可测函数的Lebesgue积分65

　4.4　一般的Lebesgue积分71

　4.5　积分的可数可加性与连续性75

　4.6　一致可积性：Vitali收敛定理77

第5章　Lebesgue积分：深入课题81

　5.1　一致可积性和紧性：一般的Vitali收敛定理81

　5.2　依测度收敛83

　5.3　Riemann可积与Lebesgue可积的刻画85

第6章　微分与积分89

　6.1　单调函数的连续性89

　6.2　单调函数的可微性：Lebesgue定理91

　6.3　有界变差函数：Jordan定理96

　6.4　绝对连续函数99

　6.5　导数的积分：微分不定积分103

　6.6　凸函数108

第7章　Lp空间：完备性与逼近112

　7.1　赋范线性空间112

　7.2　Young、Hlder与Minkowski不等式115

　7.3　Lp是完备的：Riesz-Fischer定理119

　7.4　逼近与可分性124

第8章　Lp空间：对偶与弱收敛128

　8.1　关于Lp（1≤p＜∞）的对偶的Riesz表示定理128

　8.2　Lp中的弱序列收敛134

　8.3　弱序列紧性141

　8.4　凸泛函的最小化144

第二部分　抽象空间：度量空间、拓扑空间、Banach空间和Hilbert空间

第9章　度量空间：一般性质152

　9.1　度量空间的例子152

　9.2　开集、闭集以及收敛序列155

　9.3　度量空间之间的连续映射158

　9.4　完备度量空间160

　9.5　紧度量空间164

　9.6　可分度量空间169

第10章　度量空间：三个基本定理171

　10.1　Arzel-Ascoli定理171

　10.2　Baire范畴定理175

　10.3　Banach压缩原理178

第11章　拓扑空间：一般性质183

　11.1　开集、闭集、基和子基183

　11.2　分离性质186

　11.3　可数性与可分性188

　11.4　拓扑空间之间的连续映射189

　11.5　紧拓扑空间192

　11.6　连通的拓扑空间195

第12章　拓扑空间：三个基本定理197

　12.1　Urysohn引理和Tietze延拓定理197

　12.2　Tychonoff乘积定理201

　12.3　Stone-Weierstrass定理204

第13章　Banach空间之间的连续线性算子209

　13.1　赋范线性空间209

　13.2　线性算子211

　13.3　紧性丧失：无穷维赋范线性空间214

　13.4　开映射与闭图像定理217

　13.5　一致有界原理222

第14章　赋范线性空间的对偶224

　14.1　线性泛函、有界线性泛函以及弱拓扑224

　14.2　Hahn-Banach定理229

　14.3　自反Banach空间与弱序列收敛性234

　14.4　局部凸拓扑向量空间237

　14.5　凸集的分离与Ｍazur定理240

　14.6　Krein-Milman定理244

第15章　重新得到紧性：弱拓扑247

　15.1　Helly定理的Alaoglu推广247

　15.2　自反性与弱紧性：Kakutani定理249

　15.3　紧性与弱序列紧性：Eberlein-mulian定理250

　15.4　弱拓扑的度量化252

第16章　Hilbert空间上的连续线性算子255

　16.1　内积和正交性255

　16.2　对偶空间和弱序列收敛259

　16.3　Bessel不等式与规范正交基261

　16.4　线性算子的伴随与对称性264

　16.5　紧算子268

　16.6　Hilbert-Schmidt定理270

　16.7　Riesz-Schauder定理：Fredholm算子的刻画273

第三部分　测度与积分：一般理论

第17章　一般测度空间：性质与构造280

　17.1　测度与可测集280

　17.2　带号测度：Hahn与Jordan分解284

　17.3　外测度诱导的Carathéodory测度288

　17.4　外测度的构造291

　17.5　将预测度延拓为测度：Carathéodory-Hahn定理293

第18章　一般测度空间上的积分299

　18.1　可测函数299

　18.2　非负可测函数的积分304

　18.3　一般可测函数的积分310

　18.4　Radon-Nikodym定理317

　18.5　Nikodym度量空间：Vitali-Hahn-Saks定理323

第19章　一般的Lp空间：完备性、对偶性和弱收敛性328

　19.1　Lp(X,μ)（１≤ｐ≤∞）的完备性328

　19.2　关于Lp(X,μ)（1≤ｐ<∞）的对偶的riesz表示定理333
　19.3　关于L∞(X,μ)的对偶的Kantorovitch表示定理336

　19.4　Lp(X,μ)（１＜ｐ＜∞）的弱序列紧性339

　19.5　L1(X,μ)的弱序列紧性：Dunford-Pettis定理341

第20章　特定测度的构造346

　20.1　乘积测度：Fubini与Tonelli定理346