第一部分　一元实变量函数的Lebesgue积分

第0章　集合、映射与关系的预备知识 3

0.1　集合的并与交 3

0.2　集合间的映射 4

0.3　等价关系、选择公理以及Zorn引理 5

第1章　实数集：集合、序列与函数 7

1.1　域、正性以及完备性公理 7

1.2　自然数与有理数 11

1.3　可数集与不可数集 13

1.4　实数的开集、闭集和Borel集 16

1.5　实数序列 20

1.6　实变量的连续实值函数 25

第2章　Lebesgue测度 29

2.1　引言 29

2.2　Lebesgue外测度 31

2.3　Lebesgue可测集的代数 34

2.4　Lebesgue可测集的外逼近和内逼近 40

2.5　可数可加性、连续性以及Borel-Cantelli引理 43

2.6　不可测集 47

2.7　Cantor集和Cantor-Lebesgue函数 49

第3章　Lebesgue可测函数 54

3.1　和、积与复合 54

3.2　序列的逐点极限与简单逼近 60

3.3　Littlewood的三个原理、Egoroff定理以及Lusin定理 64

第4章　Lebesgue积分 68

4.1　Riemann积分 68

4.2　有限测度集上的有界可测函数的

　Lebesgue积分 71

4.3　非负可测函数的Lebesgue积分 79

4.4　一般的Lebesgue积分 85

4.5　积分的可数可加性与连续性 90

4.6　一致可积性：Vitali收敛定理 92

第5章　Lebesgue积分：深入课题 97

5.1　一致可积性和紧性：一般的Vitali收敛定理 97

5.2　依测度收敛 99

5.3　Riemann可积与Lebesgue可积的刻画 102

第6章　微分与积分 107

6.1　单调函数的连续性 108

6.2　单调函数的可微性：Lebesgue定理 109

6.3　有界变差函数：Jordan定理 116

6.4　绝对连续函数 119

6.5　导数的积分：微分不定积分 124

6.6　凸函数 130

第7章　Lp空间：完备性与逼近 135

7.1　赋范线性空间 135

7.2　Young、H鰈der与Minkowski不等式 139

7.3　Lp是完备的：Riesz-Fischer定理 144

7.4　逼近与可分性 150

第8章　Lp空间：对偶与弱收敛 155

8.1　关于Lp（1≤p＜∞）的对偶的Riesz表示定理 155

8.2　Lp中的弱序列收敛 162

8.3　弱序列紧性 171

8.4　凸泛函的最小化 174

第二部分　抽象空间：度量空间、

拓扑空间、Banach空间

和Hilbert空间

第9章　度量空间：一般性质 183

9.1　度量空间的例子 183

9.2　开集、闭集以及收敛序列 187

9.3　度量空间之间的连续映射 190

9.4　完备度量空间 193

9.5　紧度量空间 197

9.6　可分度量空间 204

第10章　度量空间：三个基本定理 206

10.1　Arzelà-Ascoli定理 206

10.2　Baire范畴定理 211

10.3　Banach压缩原理 215

第11章　拓扑空间：一般性质 222

11.1　开集、闭集、基和子基 222

11.2　分离性质 227

11.3　可数性与可分性 228

11.4　拓扑空间之间的连续映射 230

11.5　紧拓扑空间 233

11.6　连通的拓扑空间 237

第12章　拓扑空间：三个基本定理 239

12.1　Urysohn引理和Tietze延拓定理 239

12.2　Tychonoff乘积定理 244

12.3　Stone-Weierstrass定理 247

第13章　Banach空间之间的连续线性算子 253

13.1　赋范线性空间 253

13.2　线性算子 256

13.3　紧性丧失：无穷维赋范线性空间 259

13.4　开映射与闭图像定理 263

13.5　一致有界原理 268

第14章　赋范线性空间的对偶 271

14.1　线性泛函、有界线性泛函以及弱拓扑 271

14.2　Hahn-Banach定理 277

14.3　自反Banach空间与弱序列

　收敛性 282

14.4　局部凸拓扑向量空间 286

14.5　凸集的分离与Mazur定理 290

14.6　Krein-Milman定理 295

第15章　重新得到紧性：弱拓扑 298

15.1　Helly定理的Alaoglu推广 298

15.2　自反性与弱紧性：Kakutani定理 300

15.3　紧性与弱序列紧性：Eberlein-mulian定理 302

15.4　弱拓扑的度量化 305

第16章　Hilbert空间上的连续线性算子 308

16.1　内积和正交性 309

16.2　对偶空间和弱序列收敛 313

16.3　Bessel不等式与规范正交基 316

16.4　线性算子的伴随与对称性 319

16.5　紧算子 324

16.6　Hilbert-Schmidt定理 326

16.7　Riesz-Schauder定理：Fredholm算子的刻画 329

第三部分　测度与积分：一般理论

第17章　一般测度空间：性质与构造 337

17.1　测度与可测集 337

17.2　带号测度：Hahn与Jordan分解 342

17.3　外测度诱导的Carathéodory测度 346

17.4　外测度的构造 349

17.5　将预测度延拓为测度：Carathéodory-Hahn定理 352

第18章　一般测度空间上的积分 359

18.1　可测函数 359

18.2　非负可测函数的积分 365

18.3　一般可测函数的积分 372

18.4　Radon-Nikodym定理 381

18.5　Nikodym度量空间：Vitali-Hahn-Saks定理 388

第19章　一般的Lp空间：完备性、对偶性和弱收敛性 394

19.1　Lp(X, )（1≤p≤∞）的完备性 394

19.2　关于Lp(X, )（1≤p<∞）的对偶的riesz表示定理 399< p>

19.3　关于L∞(X, )的对偶的Kantorovitch表示定理 404

19.4　Lp(X, )（1＜p＜∞）的弱序列紧性 407

19.5　L1(X, )的弱序列紧性：Dunford-Pettis定理 409

第20章　特定测度的构造 414

20.1　乘积测度：Fubini与Tonelli定理 414

20.2　欧氏空间Rn上的Lebesgue测度 424

20.3　累积分布函数与Borel测度 437

20.4　度量空间上的Carathéodory外测度与Hausdorff测度 441

第21章　测度与拓扑 446

21.1　局部紧拓扑空间 447

21.2　集合分离与函数延拓 452

21.3　Radon测度的构造 454

21.4　Cc(X)上的正线性泛函的表示：Riesz-Markov定理 457

21.5　C（X）的对偶的表示：Riesz-Kakutani表示定理 462

21.6　Baire测度的正则性 470

第22章　不变测度 477

22.1　拓扑群：一般线性群 477

22.2　Kakutani不动点定理 480

22.3　紧群上的不变Borel测度：von Neumann定理 485

22.4　测度保持变换与遍历性：Bogoliubov-Krilov定理 488

参考文献 495