目 录 第1章 微积分基础知识1 1.1 映射与函数1 1.1.1 集合及运算1 1.1.2 映射与函数6 1.1.3 函数的初等特性10 1.1.4 复合函数与反函数12 1.1.5 基本初等函数和初等函数14 习题1.1 A20 习题1.1 B22 1.2 数列极限23 1.2.1 数列极限的定义23 1.2.2 数列极限的性质27 1.2.3 数列极限的运算30 1.2.4 数列极限存在准则33 习题1.2 A38 习题1.2 B40 1.3 函数的极限40 1.3.1 函数极限的概念40 1.3.2 函数极限的性质和运算法则46 1.3.3 两个重要极限51 习题1.3 A53 习题1.3 B55 1.4 无穷小与无穷大量55 1.4.1 无穷小量55 1.4.2 无穷大量57 1.4.3 无穷小量和无穷大量的阶59 习题1.4 A62 习题1.4 B64 1.5 连续函数64 1.5.1 函数的连续性64 1.5.2 连续函数的性质和运算67 1.5.3 初等函数的连续性68 1.5.4 间断点及其类型70 1.5.5 闭区间连续函数的性质73 习题1.5 A76 习题1.5 B78 第2章 导数和微分79 2.1 导数的概念79 2.1.1 引例79 2.1.2 导数的定义80 2.1.3 导数的几何意义83 2.1.4 函数连续性和可导性的关系84 习题2.1 A85 习题2.1 B86 2.2 函数的求导法则87 2.2.1 导数的四则运算法则87 2.2.2 复合函数求导法则88 2.2.3 反函数的求导法则90 2.2.4 基本求导法则与导数公式91 习题2.2 A92 习题2.2 B93 2.3 高阶导数94 习题2.3 A96 习题2.3 B97 2.4 隐函数和由参数方程所确定函数的求导法则，相对变化率98 2.4.1 隐函数求导法则98 2.4.2 由参数方程所确定的函数的求导法则99 2.4.3 相对变化率103 习题2.4 A104 习题2.4 B106 2.5 函数的微分106 2.5.1 微分的概念106 2.5.2 微分的几何意义108 2.5.3 微分公式与微分运算法则108 2.5.3 微分在近似计算中的应用109 习题2.5110 第3章 微分中值定理与导数的应用112 3.1 微分中值定理112 3.1.1 罗尔中值定理112 3.1.2 拉格朗日中值定理114 3.1.3 柯西中值定理116 习题3.1 A117 习题3.1 B118 3.2 洛必达法则118 习题3.2 A123 习题3.2 B124 3.3 泰勒公式125 3.3.1 泰勒公式125 3.3.2 泰勒公式的应用128 习题3.3 A129 习题3.3 B130 3.4 函数的单调性、极值与最值130 3.4.1 函数单调性130 3.4.2 函数的极值131 3.4.3 函数的最大(小)值及其应用134 习题3.4 A136 习题3.4 B137 3.5 曲线的凹凸性与拐点137 习题3.5 A141 习题3.5 B142 3.6 曲线的渐近线、函数作图142 习题3.6146 第4章 不定积分147 4.1 不定积分的概念和性质147 4.1.1 不定积分的定义147 4.1.2 不定积分的基本公式148 4.1.3 不定积分的运算法则149 习题4.1 A151 习题4.1 B151 4.2 换元积分法152 4.2.1 第一类换元法152 4.2.2 第二类换元法155 习题4.2 A159 习题4.2 B161 4.3 分部积分法161 习题4.3 A166 习题4.3 B167 4.4 有理函数的不定积分168 4.4.1 有理函数的预备知识168 4.4.2 有理函数的不定积分170 4.4.3 不能表示为初等函数的不定积分173 习题4.4174 第5章 定积分175 5.1 定积分的概念和性质175 5.1.1 实例175 5.1.2 定积分的定义178 5.1.3 定积分的性质181 习题5.1 A185 习题5.1 B186 5.2 微积分基本定理186 5.2.1 微积分第一基本定理187 5.2.2 定积分计算的基本公式189 习题5.2 A190 习题5.2 B192 5.3 定积分的换元法与分部积分法193 5.3.1 定积分中的换元法193 5.3.2 定积分的分部积分法195 习题5.3 A197 习题5.3 B198 5.4 反常积分199 5.4.1 无穷区间上的积分199 5.4.2 具有无穷间断点的反常积分202 习题5.4 A205 习题5.4 B206 5.5 定积分的应用206 5.5.1 建立积分表达式的微元法206 5.5.2 平面图形的面积208 5.5.3 曲线的弧长211 5.5.4 立体的体积214 5.5.5 定积分在物理中的应用216 习题5.5 A219 习题5.5 B220 第6章 微分方程222 6.1 微分方程的基本概念222 6.1.1 微分方程举例222 6.1.2 基本概念223 习题6.1225 6.2 一阶微分方程225 6.2.1 一阶可分离变量方程225 6.2.2 可化为分离变量的微分方程226 6.2.3 一阶线性微分方程230 6.2.4 伯努利微分方程232 6.2.5 其他可化为一阶线性微分方程的例子233 习题6.2235 6.3 可降阶的二阶微分方程236 习题6.3238 6.4 高阶线性微分方程239 6.4.1 高阶线性微分方程举例239 6.4.2 线性微分方程解的结构241 习题6.4243 6.5 常系数线性微分方程244 6.5.1 常系数齐次线性微分方程244 6.5.2 常系数非齐次线性方程248 习题6.5253 6.6 *欧拉微分方程254 习题6.6255 6.7 微分方程的应用255 习题6.7259 参考文献261