第一章 函数用无穷级数和无穷乘积展开 1………………………………………… 1.1 伯努利（Bernoulli）多项式与伯努利数 1…………………………………… 1.2 欧勒（Euler）多项式与欧勒数 4……………………………………………… 1.3 欧勒-麦克洛临（Euler-Maclaurin）公式 6…………………………………… 1.4 拉格朗日（Lagrange）展开公式 10…………………………………………… 1.5 半纯函数的有理分式展开.米塔格-累夫勒（Mittag-Leffler）定理 13……… 1.6 无穷乘积 16…………………………………………………………………… 1.7 函数的无穷乘积展开.外氏（Weierstrass）定理 19………………………… 1.8 渐近展开 22…………………………………………………………………… 1.9 拉普拉斯（Laplace）积分的渐近展开.瓦特孙（Watson）引理 26…………… 1.10 用正交函数组展开 27……………………………………………………… 习题 31……………………………………………………………………………… 第二章 二阶线性常微分方程 36…………………………………………………… 2.1 二阶线性常微分方程的奇点 36……………………………………………… 2.2 方程常点邻域内的解 36……………………………………………………… 2.3 方程奇点邻域内的解 39……………………………………………………… 2.4 正则解.正则奇点 42………………………………………………………… 2.5 夫罗比尼斯（Frobenius）方法 46…………………………………………… 2.6 无穷远点 47…………………………………………………………………… 2.7 傅克斯（Fuchs）型方程 48…………………………………………………… 2.8 具有五个正则奇点的傅克斯型方程 49……………………………………… 2.9 具有三个正则奇点的傅克斯型方程 51……………………………………… 2.10 非正则奇点.正则形式解 54………………………………………………… 2.11 非正则奇点.常规解和次常规解 55………………………………………… 2.12 积分解法.基本原理 58……………………………………………………… 2.13 拉普拉斯型方程和拉氏变换 60…………………………………………… 2.14 欧勒变换 63………………………………………………………………… 习题 66……………………………………………………………………………… 第三章 伽马函数 69………………………………………………………………… 3.1 伽马函数的定义 69…………………………………………………………… 3.2 递推关系 69…………………………………………………………………… 3.3 欧勒无穷乘积公式 70………………………………………………………… 3.4 外氏（Weierstrass）无穷乘积 72……………………………………………… 3.5 伽马函数与三角函数的联系 73……………………………………………… 3.6 乘积公式 73…………………………………………………………………… 3.7 围道积分 75…………………………………………………………………… 3.8 欧勒第一类积分.B函数 76………………………………………………… 3.9 双周围道积分 77……………………………………………………………… 3.10 狄里希累（Dirichlet）积分 78……………………………………………… 3.11 Γ函数的对数微商 79……………………………………………………… 3.12 渐近展开式 82……………………………………………………………… 3.13 渐近展开式的另一导出法 83……………………………………………… 3.14 里曼（Riemann）ζ函数 84…………………………………………………… 3.15 ζ函数的函数方程 85……………………………………………………… 3.16 s为整数时ζ（s，a）之值 86………………………………………………… 3.17 厄密（Hermite）公式 87……………………………………………………… 3.18 与伽马函数的联系 89……………………………………………………… 3.19 ζ函数的欧勒乘积 91……………………………………………………… 3.20 ζ函数的里曼积分 92……………………………………………………… 3.21 伽马函数的渐近展开的又一导出法 93…………………………………… 3.22 ζ函数的计算 94…………………………………………………………… 习题 95……………………………………………………………………………… 第四章 超几何函数 100……………………………………………………………… 4.1 超几何级数和超几何函数 100……………………………………………… 4.2 邻次函数之间的关系 101…………………………………………………… 4.3 超几何方程的其他解用超几何函数表示 103……………………………… 4.4 指标差为整数时超几何方程的第二解 106………………………………… 4.5 超几何函数的积分表示 110………………………………………………… 4.6 超几何函数的巴恩斯（Barnes）积分表示 112……………………………… 4.7 F（α，β，γ，1）之值 115………………………………………………………… 4.8 在奇点0，1，∞附近的基本解之间的关系.解析开拓 117………………… 4.9 γ-α-β，α-β是整数的情形 119…………………………………………… 4.10 雅可毕（Jacobi）多项式 124………………………………………………… 4.11 切比谢夫（Чебышев）多项式 127…………………………………………… 4.12 二次变换 130………………………………………………………………… 4.13 库末（Kummer）公式以及由它导出的求和公式 136……………………… 4.14 参数大时的渐近展开 137…………………………………………………… 4.15 广义超几何级数 140………………………………………………………… 4.16 两个变数的超几何级数 141………………………………………………… 4.17 F 1 和F 2 的变换公式 144…………………………………………………… 4.18 可约化的情形 145…………………………………………………………… 习题 149……………………………………………………………………………… 第五章 勒让德函数 154……………………………………………………………… 5.1 勒让德（Legendre）方程 154………………………………………………… 5.2 勒让德多项式 155…………………………………………………………… 5.3 P n （x）的生成函数.微商表示———罗巨格（Rodrigues）公式 157…………… 5.4 P n （x）的积分表示 158………………………………………………………… 5.5 P n （x）的递推关系 159………………………………………………………… 5.6 勒让德多项式作为完备正交函数组 160…………………………………… 5.7 P n （x）的零点 163……………………………………………………………… 5.8 第二类勒让德函数Q n （x） 164……………………………………………… 5.9 Q n （x）的递推关系 168……………………………………………………… 5.10 函数 1 x-t 用勒让德函数展开.诺埃曼（Neumann）展开 168……………… 5.11 连带勒让德函数P m l （x） 170………………………………………………… 5.12 P m l （x）的正交关系 172……………………………………………………… 5.13 P m l （x）和Q m l （x）的递推关系 174…………………………………………… 5.14 加法公式 175………………………………………………………………… 5.15 球面谐函数Y lm （θ，φ） 177………………………………………………… 5.16 普遍的连带勒让德函数P μ ν （z） 180………………………………………… 5.17 Q μ ν （z） 183…………………………………………………………………… 5.18 割缝-∞0时马丢方程的近似解 470……………………………………… 12.14 马丢函数的积分方程 472………………………………………………… 习题 474……………………………………………………………………………… 附 录 480……………………………………………………………………………… 附录一 三次方程的根 480………………………………………………………… 附录二 四次方程的根 481………………………………………………………… 附录三 正交曲面坐标系 483……………………………………………………… 参考书目 496…………………………………………………………………………… 符 号 497……………………………………………………………………………… 索 引 501……………………………………………………………………………… 外国人名对照索引 505………………………………………………………………… 出版后记 508……………………………………………………………………………