数值分析 / “十四五”普通高等院校理工科基础课程系列教材
￥39.80定价
作者： 王亚红，王秋宝，田茹
出版时间：2023-07
出版社：中国铁道出版社
- 中国铁道出版社
- 9787113302719
- 1版
- 502232
- 47248979-8
- 16开
- 2023-07
作者简介
内容简介
本书共分七章，主要阐述了误差及算法的稳定性，要求掌握数值运算的误差估计及数值运算中的一些原则； 非线性方程（组）求根，要求掌握迭代法的基本思想，熟练运用所学的方法解决非线性方程的近似解问题；线性方程组的数值解法，要求掌握高斯消去法和列主元高斯消去法，掌握矩阵三角分解法求解线性方程组，掌握向量和矩阵范数特征值的数值解法；函数的插值与拟合，要求掌握拉格朗日插值多项式的存在唯一性，掌握差分、差商的计算过程及有关性质，掌握牛顿插值多项式及其余项，了解埃尔米特插值及其余项；数值微分与积分和常微分方程数值解，要求掌握插值型数值求积公式，高斯求积公式等各类求积公式的构造方法，熟练运用求积公式进行计算。
目录
第1章 绪论……………………………………………………………………………………… 1
1.1 数值分析的研究对象与特点 ………………………………………………………… 1
1.2 数值计算的误差 ……………………………………………………………………… 2
1.2.1 误差的来源 ……………………………………………………………………… 2
1.2.2 误差与误差限 …………………………………………………………………… 3
1.2.3 浮点数与有效数字 ……………………………………………………………… 4
1.2.4 误差的传播 ……………………………………………………………………… 7
1.3 算法的稳定性 ………………………………………………………………………… 9
1.4 算法设计的注意事项………………………………………………………………… 11
1.5 数值计算软件………………………………………………………………………… 12
1.6 写给读者的话………………………………………………………………………… 13
习题 ………………………………………………………………………………………… 13
上机实验 …………………………………………………………………………………… 14
第2章 非线性方程(组)的数值解法 ………………………………………………………… 15
2.1 引言…………………………………………………………………………………… 15
2.2 二分法………………………………………………………………………………… 16
2.3 不动点迭代法………………………………………………………………………… 18
2.3.1 不动点与不动点迭代法………………………………………………………… 18
2.3.2 不动点迭代法的收敛性分析与误差分析……………………………………… 20
2.3.3 迭代法的收敛阶和埃特金加速………………………………………………… 23
2.4 牛顿迭代法及其变形………………………………………………………………… 26
2.4.1 牛顿迭代法……………………………………………………………………… 26
2.4.2 简化牛顿法……………………………………………………………………… 28
2.4.3 重根情形………………………………………………………………………… 29
2.4.4 割线法…………………………………………………………………………… 31
2.5 非线性方程组的牛顿迭代法简介…………………………………………………… 32
习题 ………………………………………………………………………………………… 34
上机实验 …………………………………………………………………………………… 35
第3章 线性方程组的数值解法 ……………………………………………………………… 38
3.1 引言与预备知识……………………………………………………………………… 38
3.1.1 引言……………………………………………………………………………… 38
3.1.2 向量与矩阵的预备知识………………………………………………………… 39
3.2 高斯消元法与矩阵分解……………………………………………………………… 43
3.2.1 高斯消元法………………………………………………………………………43
3.2.2 列主元高斯消元法……………………………………………………………… 46
3.2.3 高斯消元法的矩阵形式………………………………………………………… 48
3.3 矩阵的三角分解法…………………………………………………………………… 49
3.3.1 直接三角分解法………………………………………………………………… 49
3.3.2 解三对角线性方程组的追赶法………………………………………………… 53
3.3.3 乔列斯基分解与平方根法……………………………………………………… 55
3.4 线性方程组的误差分析……………………………………………………………… 58
3.5 线性方程组的迭代法及其收敛性分析……………………………………………… 63
3.6 雅可比迭代法和高斯 赛德尔迭代法 ……………………………………………… 66
3.7 逐次超松弛迭代……………………………………………………………………… 71
3.8 块迭代法……………………………………………………………………………… 74
3.9 共轭梯度法…………………………………………………………………………… 76
习题 ………………………………………………………………………………………… 80
上机实验 …………………………………………………………………………………… 83
附注 ……………………………………………………………………………………… 86
第4章 矩阵特征值的计算 …………………………………………………………………… 90
4.1 引言…………………………………………………………………………………… 90
4.2 幂法与反幂法………………………………………………………………………… 91
4.2.1 幂法……………………………………………………………………………… 91
4.2.2 反幂法…………………………………………………………………………… 93
4.3 正交变换与QR分解………………………………………………………………… 94
4.3.1 豪斯霍尔德变换和吉文斯变换………………………………………………… 94
4.3.2 QR分解 ………………………………………………………………………… 98
4.4 QR方法 …………………………………………………………………………… 100
习题………………………………………………………………………………………… 101
上机实验…………………………………………………………………………………… 101
第5章 函数的数值逼近……………………………………………………………………… 102
5.1 引言 ………………………………………………………………………………… 102
5.2 拉格朗日插值多项式 ……………………………………………………………… 105
5.2.1 多项式插值问题 ……………………………………………………………… 105
5.2.2 拉格朗日插值多项式的构造方法 …………………………………………… 106
5.2.3 拉格朗日插值多项式的余项分析 …………………………………………… 108
5.3 牛顿插值多项式 …………………………………………………………………… 112
5.3.1 差商 …………………………………………………………………………… 112
5.3.2 牛顿插值多项式 ……………………………………………………………… 113
5.4 埃尔米特插值 ……………………………………………………………………… 115
5.4.1 两节点的三次埃尔米特插值 ………………………………………………… 115
5.4.2 重节点差商 …………………………………………………………………… 116
5.5 分段低次插值 ……………………………………………………………………… 117
5.6 三次样条插值 ……………………………………………………………………… 120
5.6.1 三次样条插值的定义 ………………………………………………………… 120
5.6.2 三次样条插值的基本方程 …………………………………………………… 121
5.6.3 端点条件 ……………………………………………………………………… 123
5.6.4 方程组的求解 ………………………………………………………………… 123
5.7 最小二乘法 ………………………………………………………………………… 125
5.7.1 单变量多项式拟合 …………………………………………………………… 125
5.7.2 多变量数据拟合 ……………………………………………………………… 131
5.7.3 非多项式形式的拟合 ………………………………………………………… 134
5.7.4 矛盾方程的最小二乘法解 …………………………………………………… 135
习题………………………………………………………………………………………… 136
上机实验…………………………………………………………………………………… 138
第6章 数值微分与数值积分………………………………………………………………… 140
6.1 引言 ………………………………………………………………………………… 140
6.2 数值微分 …………………………………………………………………………… 141
6.2.1 三点数值微分公式 …………………………………………………………… 142
6.2.2 理查森外推 …………………………………………………………………… 143
6.3 数值积分的基本概念 ……………………………………………………………… 147
6.4 牛顿 柯特斯求积公式及余项……………………………………………………… 149
6.5 复化梯形公式和复化辛普森求积公式 …………………………………………… 151
6.6 变步长求积 ………………………………………………………………………… 153
6.6.1 梯形公式的变步长法 ………………………………………………………… 153
6.6.2 龙贝格算法 …………………………………………………………………… 154
6.6.3 自适应求积方法 ……………………………………………………………… 156
6.7 高斯型求积公式 …………………………………………………………………… 159
6.7.1 两点高斯型求积公式的构造 ………………………………………………… 159
6.7.2 常见的高斯型求积公式 ……………………………………………………… 161
6.8 蒙特 卡罗方法……………………………………………………………………… 162
习题………………………………………………………………………………………… 163
上机实验…………………………………………………………………………………… 165
第7章 常微分方程数值解…………………………………………………………………… 166
7.1 引言 ………………………………………………………………………………… 166
7.2 基本概念和简单单步法 …………………………………………………………… 169
7.2.1 欧拉法 ………………………………………………………………………… 169
7.2.2 刚性问题简介 ………………………………………………………………… 175
7.2.3 广义欧拉法 …………………………………………………………………… 179
7.3 龙格 库塔方法……………………………………………………………………… 181
7.3.1 龙格 库塔方法思想…………………………………………………………… 182
7.3.2 龙格 库塔方法的构造………………………………………………………… 183
7.3.3 收敛性和稳定性 ……………………………………………………………… 193
7.4 线性多步法 ………………………………………………………………………… 196
7.4.1 阿当姆斯方法 ………………………………………………………………… 196
7.4.2 线性多步法的一般形式 ……………………………………………………… 197
7.4.3 相容性、稳定性和收敛性……………………………………………………… 197
7.4.4 预估 校正阿当姆斯方法……………………………………………………… 198
7.4.5 米尔尼方法 …………………………………………………………………… 199
7.5 随机微分方程数值解法 …………………………………………………………… 200
7.5.1 布朗运动 ……………………………………………………………………… 200
7.5.2 随机常微分方程 ……………………………………………………………… 202
7.5.3 随机微分方程数值方法 ……………………………………………………… 205
习题………………………………………………………………………………………… 206
上机实验…………………………………………………………………………………… 207
参考文献………………………………………………………………………………………… 208
1.1 数值分析的研究对象与特点 ………………………………………………………… 1
1.2 数值计算的误差 ……………………………………………………………………… 2
1.2.1 误差的来源 ……………………………………………………………………… 2
1.2.2 误差与误差限 …………………………………………………………………… 3
1.2.3 浮点数与有效数字 ……………………………………………………………… 4
1.2.4 误差的传播 ……………………………………………………………………… 7
1.3 算法的稳定性 ………………………………………………………………………… 9
1.4 算法设计的注意事项………………………………………………………………… 11
1.5 数值计算软件………………………………………………………………………… 12
1.6 写给读者的话………………………………………………………………………… 13
习题 ………………………………………………………………………………………… 13
上机实验 …………………………………………………………………………………… 14
第2章 非线性方程(组)的数值解法 ………………………………………………………… 15
2.1 引言…………………………………………………………………………………… 15
2.2 二分法………………………………………………………………………………… 16
2.3 不动点迭代法………………………………………………………………………… 18
2.3.1 不动点与不动点迭代法………………………………………………………… 18
2.3.2 不动点迭代法的收敛性分析与误差分析……………………………………… 20
2.3.3 迭代法的收敛阶和埃特金加速………………………………………………… 23
2.4 牛顿迭代法及其变形………………………………………………………………… 26
2.4.1 牛顿迭代法……………………………………………………………………… 26
2.4.2 简化牛顿法……………………………………………………………………… 28
2.4.3 重根情形………………………………………………………………………… 29
2.4.4 割线法…………………………………………………………………………… 31
2.5 非线性方程组的牛顿迭代法简介…………………………………………………… 32
习题 ………………………………………………………………………………………… 34
上机实验 …………………………………………………………………………………… 35
第3章 线性方程组的数值解法 ……………………………………………………………… 38
3.1 引言与预备知识……………………………………………………………………… 38
3.1.1 引言……………………………………………………………………………… 38
3.1.2 向量与矩阵的预备知识………………………………………………………… 39
3.2 高斯消元法与矩阵分解……………………………………………………………… 43
3.2.1 高斯消元法………………………………………………………………………43
3.2.2 列主元高斯消元法……………………………………………………………… 46
3.2.3 高斯消元法的矩阵形式………………………………………………………… 48
3.3 矩阵的三角分解法…………………………………………………………………… 49
3.3.1 直接三角分解法………………………………………………………………… 49
3.3.2 解三对角线性方程组的追赶法………………………………………………… 53
3.3.3 乔列斯基分解与平方根法……………………………………………………… 55
3.4 线性方程组的误差分析……………………………………………………………… 58
3.5 线性方程组的迭代法及其收敛性分析……………………………………………… 63
3.6 雅可比迭代法和高斯 赛德尔迭代法 ……………………………………………… 66
3.7 逐次超松弛迭代……………………………………………………………………… 71
3.8 块迭代法……………………………………………………………………………… 74
3.9 共轭梯度法…………………………………………………………………………… 76
习题 ………………………………………………………………………………………… 80
上机实验 …………………………………………………………………………………… 83
附注 ……………………………………………………………………………………… 86
第4章 矩阵特征值的计算 …………………………………………………………………… 90
4.1 引言…………………………………………………………………………………… 90
4.2 幂法与反幂法………………………………………………………………………… 91
4.2.1 幂法……………………………………………………………………………… 91
4.2.2 反幂法…………………………………………………………………………… 93
4.3 正交变换与QR分解………………………………………………………………… 94
4.3.1 豪斯霍尔德变换和吉文斯变换………………………………………………… 94
4.3.2 QR分解 ………………………………………………………………………… 98
4.4 QR方法 …………………………………………………………………………… 100
习题………………………………………………………………………………………… 101
上机实验…………………………………………………………………………………… 101
第5章 函数的数值逼近……………………………………………………………………… 102
5.1 引言 ………………………………………………………………………………… 102
5.2 拉格朗日插值多项式 ……………………………………………………………… 105
5.2.1 多项式插值问题 ……………………………………………………………… 105
5.2.2 拉格朗日插值多项式的构造方法 …………………………………………… 106
5.2.3 拉格朗日插值多项式的余项分析 …………………………………………… 108
5.3 牛顿插值多项式 …………………………………………………………………… 112
5.3.1 差商 …………………………………………………………………………… 112
5.3.2 牛顿插值多项式 ……………………………………………………………… 113
5.4 埃尔米特插值 ……………………………………………………………………… 115
5.4.1 两节点的三次埃尔米特插值 ………………………………………………… 115
5.4.2 重节点差商 …………………………………………………………………… 116
5.5 分段低次插值 ……………………………………………………………………… 117
5.6 三次样条插值 ……………………………………………………………………… 120
5.6.1 三次样条插值的定义 ………………………………………………………… 120
5.6.2 三次样条插值的基本方程 …………………………………………………… 121
5.6.3 端点条件 ……………………………………………………………………… 123
5.6.4 方程组的求解 ………………………………………………………………… 123
5.7 最小二乘法 ………………………………………………………………………… 125
5.7.1 单变量多项式拟合 …………………………………………………………… 125
5.7.2 多变量数据拟合 ……………………………………………………………… 131
5.7.3 非多项式形式的拟合 ………………………………………………………… 134
5.7.4 矛盾方程的最小二乘法解 …………………………………………………… 135
习题………………………………………………………………………………………… 136
上机实验…………………………………………………………………………………… 138
第6章 数值微分与数值积分………………………………………………………………… 140
6.1 引言 ………………………………………………………………………………… 140
6.2 数值微分 …………………………………………………………………………… 141
6.2.1 三点数值微分公式 …………………………………………………………… 142
6.2.2 理查森外推 …………………………………………………………………… 143
6.3 数值积分的基本概念 ……………………………………………………………… 147
6.4 牛顿 柯特斯求积公式及余项……………………………………………………… 149
6.5 复化梯形公式和复化辛普森求积公式 …………………………………………… 151
6.6 变步长求积 ………………………………………………………………………… 153
6.6.1 梯形公式的变步长法 ………………………………………………………… 153
6.6.2 龙贝格算法 …………………………………………………………………… 154
6.6.3 自适应求积方法 ……………………………………………………………… 156
6.7 高斯型求积公式 …………………………………………………………………… 159
6.7.1 两点高斯型求积公式的构造 ………………………………………………… 159
6.7.2 常见的高斯型求积公式 ……………………………………………………… 161
6.8 蒙特 卡罗方法……………………………………………………………………… 162
习题………………………………………………………………………………………… 163
上机实验…………………………………………………………………………………… 165
第7章 常微分方程数值解…………………………………………………………………… 166
7.1 引言 ………………………………………………………………………………… 166
7.2 基本概念和简单单步法 …………………………………………………………… 169
7.2.1 欧拉法 ………………………………………………………………………… 169
7.2.2 刚性问题简介 ………………………………………………………………… 175
7.2.3 广义欧拉法 …………………………………………………………………… 179
7.3 龙格 库塔方法……………………………………………………………………… 181
7.3.1 龙格 库塔方法思想…………………………………………………………… 182
7.3.2 龙格 库塔方法的构造………………………………………………………… 183
7.3.3 收敛性和稳定性 ……………………………………………………………… 193
7.4 线性多步法 ………………………………………………………………………… 196
7.4.1 阿当姆斯方法 ………………………………………………………………… 196
7.4.2 线性多步法的一般形式 ……………………………………………………… 197
7.4.3 相容性、稳定性和收敛性……………………………………………………… 197
7.4.4 预估 校正阿当姆斯方法……………………………………………………… 198
7.4.5 米尔尼方法 …………………………………………………………………… 199
7.5 随机微分方程数值解法 …………………………………………………………… 200
7.5.1 布朗运动 ……………………………………………………………………… 200
7.5.2 随机常微分方程 ……………………………………………………………… 202
7.5.3 随机微分方程数值方法 ……………………………………………………… 205
习题………………………………………………………………………………………… 206
上机实验…………………………………………………………………………………… 207
参考文献………………………………………………………………………………………… 208
