- 科学出版社
- 9787030856623
- 3版
- 2026-08
作者简介
内容简介
本书系统阐述了线性代数与解析几何的基本理论和方法，主要内容涵盖矩阵及其初等变换、行列式与矩阵的秩、几何空间、n维向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型与二次曲面。全书突出线性变换这一主线，注重代数与几何的有机结合，适当融入课程思政元素，介绍经典和前沿应用，并借助数字资源丰富课程内容。书中精选大量例题和习题，各章附有内容小结，并配有总习题供复习巩固。本书附录提供六个贯穿全书的总览二维码资源、各章习题参考答案、两套模拟试题和五年考研真题及解析，供读者拓展学习使用。
目录
目录
第三版前言
第二版前言
第一版前言
第1章 矩阵及其初等变换 1
1.1 矩阵的定义及其运算 1
1.1.1 矩阵的定义 1
1.1.2 矩阵的线性运算 3
1.1.3 矩阵的乘法 5
1.1.4 矩阵的转置 10
1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换 13
1.2.1 线性方程组与高斯消元法 13
1.2.2 初等变换 15
1.2.3 线性方程组有解判别 19
1.2.4 初等矩阵 25
1.3 方阵的逆矩阵 29
1.3.1 逆矩阵的定义与性质 29
1.3.2 初等变换法求逆矩阵 30
1.4 分块矩阵 37
1.4.1 分块矩阵的定义 37
1.4.2 分块矩阵的运算 38
1.4.3 常用的分块形式及应用 40
1.5 应用举例 43
1.6 本章小结 45
1.6.1 基本要求 45
1.6.2 内容提要 45
第1章总习题 47
第2章 行列式与矩阵的秩 51
2.1 行列式的定义 51
2.1.1 二、三阶行列式 51
2.1.2 n阶行列式 52
2.2 行列式的性质与计算 57
2.2.1 行列式的性质 57
2.2.2 行列式的计算 64
2.3 行列式与方阵的可逆性 72
2.3.1 行列式的乘法定理 72
2.3.2 方阵可逆的充分必要条件 74
2.3.3 克拉默法则 79
2.4 矩阵的秩 82
2.4.1 矩阵的秩的定义 82
2.4.2 矩阵的秩的计算 83
2.4.3 矩阵的秩的性质 87
2.4.4 线性方程组有解判别与矩阵秩的关系 92
2.5 应用举例 96
2.6 本章小结 99
2.6.1 基本要求 99
2.6.2 内容提要 100
第2章总习题 103
第3章 几何空间 107
3.1 向量及其线性运算 107
3.1.1 向量的概念 107
3.1.2 向量的加减法 108
3.1.3 向量与数的乘法 109
3.1.4 空间直角坐标系 111
3.1.5 向量的分解与向量的坐标 112
3.1.6 向量的投影、向量的模与方向角 114
3.2 向量的乘积 117
3.2.1 向量的数量积 117
3.2.2 向量的向量积 120
3.2.3 向量的混合积 122
3.3 平面与空间直线 124
3.3.1 平面的方程 124
3.3.2 空间直线的方程 127
3.3.3 平面间、直线间和线面间的位置关系 129
3.3.4 平面束 134
3.3.5 综合题型 135
3.4 应用举例 140
3.5 本章小结 141
3.5.1 基本要求 141
3.5.2 内容提要 142
第3章总习题 144
第4章 n维向量 146
4.1 n维向量及其运算 146
4.1.1 n维向量的定义 146
4.1.2 n维向量的线性运算 147
4.2 向量组的线性相关性 148
4.2.1 线性组合和线性表示 148
4.2.2 线性相关和线性无关 150
4.3 向量组的极大线性无关组与秩 156
4.3.1 向量组的线性表示与等价 156
4.3.2 向量组的极大线性无关组 158
4.3.3 向量组的秩 159
4.3.4 向量组的秩与矩阵的秩的关系 159
4.4 向量空间 163
4.4.1 向量空间及其子空间 163
4.4.2 向量空间的基与维数 165
4.4.3 过渡矩阵与坐标变换 166
4.5 应用举例 168
4.6 本章小结 170
4.6.1 基本要求 170
4.6.2 内容提要 171
第4章总习题 173
第5章 线性方程组 175
5.1 齐次线性方程组 175
5.1.1 齐次线性方程组解的性质 175
5.1.2 齐次线性方程组的基础解系及解的结构 176
5.2 非齐次线性方程组 182
5.2.1 非齐次线性方程组解的性质 183
5.2.2 非齐次线性方程组解的结构 183
5.3 应用举例 191
5.4 本章小结 194
5.4.1 基本要求 194
5.4.2 内容提要 194
第5章总习题 196
第6章 特征值与特征向量 198
6.1 方阵的特征值与特征向量 198
6.1.1 特征值与特征向量的定义 198
6.1.2 特征值与特征向量的性质 201
6.2 相似矩阵与矩阵的相似对角化 205
6.2.1 相似矩阵及其性质 205
6.2.2 矩阵的相似对角化 207
6.3 向量空间的正交性 211
6.3.1 向量的内积、长度和夹角 211
6.3.2 R？的标准正交基与施密特正交化方法 213
6.3.3 正交矩阵 215
6.4 实对称矩阵的相似对角化 216
6.5 应用举例 222
6.6 本章小结 224
6.6.1 基本要求 224
6.6.2 内容提要 225
第6章总习题 228
第7章 二次型与二次曲面 231
7.1 二次型及矩阵合同 231
7.1.1 二次型及其矩阵表示 231
7.1.2 矩阵的合同及其性质 233
7.2 二次型的标准形与规范形 234
7.2.1 二次型的标准形 234
7.2.2 化二次型为标准形的方法 234
7.2.3 二次型的规范形 240
7.3 正定二次型 243
7.3.1 正定二次型的定义 243
7.3.2 正定二次型的判定 243
7.4 曲面与空间曲线 246
7.4.1 曲面及其方程 246
7.4.2 旋转曲面、柱面、锥面 248
7.4.3 二次曲面 251
7.4.4 空间曲线及其方程 259
7.4.5 空间曲线在坐标面上的投影 261
7.5 应用举例 264
7.6 本章小结 266
7.6.1 基本要求 266
7.6.2 主要内容 266
7.6.3 主要方法 268
第7章总习题 269
主要参考书目 272
附录一 六个总览二维码 273
附录二 各章习题参考答案 274
附录三 两套模拟试题、五年考研真题及解析 275
第三版前言
第二版前言
第一版前言
第1章 矩阵及其初等变换 1
1.1 矩阵的定义及其运算 1
1.1.1 矩阵的定义 1
1.1.2 矩阵的线性运算 3
1.1.3 矩阵的乘法 5
1.1.4 矩阵的转置 10
1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换 13
1.2.1 线性方程组与高斯消元法 13
1.2.2 初等变换 15
1.2.3 线性方程组有解判别 19
1.2.4 初等矩阵 25
1.3 方阵的逆矩阵 29
1.3.1 逆矩阵的定义与性质 29
1.3.2 初等变换法求逆矩阵 30
1.4 分块矩阵 37
1.4.1 分块矩阵的定义 37
1.4.2 分块矩阵的运算 38
1.4.3 常用的分块形式及应用 40
1.5 应用举例 43
1.6 本章小结 45
1.6.1 基本要求 45
1.6.2 内容提要 45
第1章总习题 47
第2章 行列式与矩阵的秩 51
2.1 行列式的定义 51
2.1.1 二、三阶行列式 51
2.1.2 n阶行列式 52
2.2 行列式的性质与计算 57
2.2.1 行列式的性质 57
2.2.2 行列式的计算 64
2.3 行列式与方阵的可逆性 72
2.3.1 行列式的乘法定理 72
2.3.2 方阵可逆的充分必要条件 74
2.3.3 克拉默法则 79
2.4 矩阵的秩 82
2.4.1 矩阵的秩的定义 82
2.4.2 矩阵的秩的计算 83
2.4.3 矩阵的秩的性质 87
2.4.4 线性方程组有解判别与矩阵秩的关系 92
2.5 应用举例 96
2.6 本章小结 99
2.6.1 基本要求 99
2.6.2 内容提要 100
第2章总习题 103
第3章 几何空间 107
3.1 向量及其线性运算 107
3.1.1 向量的概念 107
3.1.2 向量的加减法 108
3.1.3 向量与数的乘法 109
3.1.4 空间直角坐标系 111
3.1.5 向量的分解与向量的坐标 112
3.1.6 向量的投影、向量的模与方向角 114
3.2 向量的乘积 117
3.2.1 向量的数量积 117
3.2.2 向量的向量积 120
3.2.3 向量的混合积 122
3.3 平面与空间直线 124
3.3.1 平面的方程 124
3.3.2 空间直线的方程 127
3.3.3 平面间、直线间和线面间的位置关系 129
3.3.4 平面束 134
3.3.5 综合题型 135
3.4 应用举例 140
3.5 本章小结 141
3.5.1 基本要求 141
3.5.2 内容提要 142
第3章总习题 144
第4章 n维向量 146
4.1 n维向量及其运算 146
4.1.1 n维向量的定义 146
4.1.2 n维向量的线性运算 147
4.2 向量组的线性相关性 148
4.2.1 线性组合和线性表示 148
4.2.2 线性相关和线性无关 150
4.3 向量组的极大线性无关组与秩 156
4.3.1 向量组的线性表示与等价 156
4.3.2 向量组的极大线性无关组 158
4.3.3 向量组的秩 159
4.3.4 向量组的秩与矩阵的秩的关系 159
4.4 向量空间 163
4.4.1 向量空间及其子空间 163
4.4.2 向量空间的基与维数 165
4.4.3 过渡矩阵与坐标变换 166
4.5 应用举例 168
4.6 本章小结 170
4.6.1 基本要求 170
4.6.2 内容提要 171
第4章总习题 173
第5章 线性方程组 175
5.1 齐次线性方程组 175
5.1.1 齐次线性方程组解的性质 175
5.1.2 齐次线性方程组的基础解系及解的结构 176
5.2 非齐次线性方程组 182
5.2.1 非齐次线性方程组解的性质 183
5.2.2 非齐次线性方程组解的结构 183
5.3 应用举例 191
5.4 本章小结 194
5.4.1 基本要求 194
5.4.2 内容提要 194
第5章总习题 196
第6章 特征值与特征向量 198
6.1 方阵的特征值与特征向量 198
6.1.1 特征值与特征向量的定义 198
6.1.2 特征值与特征向量的性质 201
6.2 相似矩阵与矩阵的相似对角化 205
6.2.1 相似矩阵及其性质 205
6.2.2 矩阵的相似对角化 207
6.3 向量空间的正交性 211
6.3.1 向量的内积、长度和夹角 211
6.3.2 R？的标准正交基与施密特正交化方法 213
6.3.3 正交矩阵 215
6.4 实对称矩阵的相似对角化 216
6.5 应用举例 222
6.6 本章小结 224
6.6.1 基本要求 224
6.6.2 内容提要 225
第6章总习题 228
第7章 二次型与二次曲面 231
7.1 二次型及矩阵合同 231
7.1.1 二次型及其矩阵表示 231
7.1.2 矩阵的合同及其性质 233
7.2 二次型的标准形与规范形 234
7.2.1 二次型的标准形 234
7.2.2 化二次型为标准形的方法 234
7.2.3 二次型的规范形 240
7.3 正定二次型 243
7.3.1 正定二次型的定义 243
7.3.2 正定二次型的判定 243
7.4 曲面与空间曲线 246
7.4.1 曲面及其方程 246
7.4.2 旋转曲面、柱面、锥面 248
7.4.3 二次曲面 251
7.4.4 空间曲线及其方程 259
7.4.5 空间曲线在坐标面上的投影 261
7.5 应用举例 264
7.6 本章小结 266
7.6.1 基本要求 266
7.6.2 主要内容 266
7.6.3 主要方法 268
第7章总习题 269
主要参考书目 272
附录一 六个总览二维码 273
附录二 各章习题参考答案 274
附录三 两套模拟试题、五年考研真题及解析 275
