数学分析讲义（第三册）
￥69.00定价
作者： 张福保，薛星美等
出版时间：2019-10
出版社：科学出版社
- 科学出版社
- 9787030616098
- 1-3
- 284188
- 46217283-4
- 平装
- 16开
- 2019-10
- 390
- 264
- 理学
- 数学
- O17
- 数学
- 本科
内容简介
第三册，级数与反常积分（含参变量积分）。为了尽快接触到微积分的主要内容，体会到突出微积分巨大威力，*册选择尽可能少的实数理论做基础即展开极限与连续以及微分学的讨论；而把比较复杂的证明(包括实数等价命题和上下极限的讨论)放到第二册开头，并把欧氏空间理论也放到这一章，作为实数连续性的推广，这样的结构对于为学生打好坚实的数学基础也很有帮助，也为接下去进行严格的可积性推导奠定基础；注意到反常积分，包括反常重积分，和级数有较多的相似性，例如都是有限情况取极限，以及目标相同：重点研究收敛性,判别法也类似等，因此将这两者组合在第三册里也是恰当的。
目录
目录
致读者
第12章 曲线积分、曲面积分与场论初步 1
§12.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 1
§12.1.1 第一型曲线积分 1
§12.1.2 第一型曲面积分 6
§12.2 第二型曲线积分与第二型曲面积分 10
§12.2.1 第二型曲线积分 10
§12.2.2 第二型曲面积分 15
§12.3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式 24
§12.3.1 Green公式 24
§12.3.2 曲线积分与路径无关的条件 29
§12.3.3 Gauss公式 33
§12.3.4 Stokes公式 36
§12.4 场论初步 46
§12.4.1 场的概念 46
§12.4.2 数量场的等值面和梯度场 47
§12.4.3 向量场的通量与散度 48
§12.4.4 向量场的环量与旋度 50
§12.4.5 管量场与有势场 52
§12.4.6 Hamilton算子 53
第13章 反常积分 56
§13.1 反常积分的概念和计算 56
§13.1.1 反常积分的概念 56
§13.1.2 反常积分的性质与计算 61
§13.1.3 反常积分的Cauchy主值 64
§13.2 反常积分的收敛判别法 67
§13.2.1 无穷区间上的反常积分的收敛判别法 67
§13.2.2 瑕积分的收敛判别法 75
§13.3 反常重积分 80
§13.3.1 无穷反常重积分 80
§13.3.2 无界函数的反常二重积分 89
第14章 含参变量积分 93
§14.1 含参变量的常义积分 93
§14.1.1 含参变量积分的概念 93
§14.1.2 含参变量的常义积分所定义的函数的分析性质 94
§14.2 含参变量的反常积分 101
§14.2.1 含参变量的反常积分的一致收敛性 102
§14.2.2 含参变量反常积分一致收敛性的判别 103
§14.2.3 一致收敛积分的分析性质 109
§14.3 Euler积分 117
§14.3.1 Beta函数 117
§14.3.2 Gamma函数 119
§14.3.3 Beta函数与Gamma函数的关系 122
§14.3.4 Euler公式的拓展：Legendre公式、余元公式和Stirling公式 124
第15章 数项级数 127
§15.1 数项级数的收敛性 128
§15.1.1 数项级数的概念 128
§15.1.2 级数Cauchy收敛原理 129
§15.2 正项级数 133
§15.2.1 Cauchy判别法(或根式判别法(root test)) 133
§15.2.2 D'Alembert判别法(或比式判别法(ratio test)) 134
§15.2.3 积分判别法(integral test) 135
§15.2.4 Raabe判别法 138
§15.2.5 其他一些判别法 139
§15.3 任意项级数 141
§15.3.1 交错级数与Leibniz判别法 141
§15.3.2 Abel判别法与Dirichlet判别法 143
§15.3.3 级数的绝对收敛与条件收敛 146
§15.3.4 级数的重排 147
§15.3.5 级数的乘法 151
§15.4 无穷乘积 156
§15.4.1 无穷乘积定义 156
§15.4.2 无穷乘积的性质 159
§15.4.3 无穷乘积与无穷级数的转化 160
§15.4.4 绝对收敛 161
第16章 函数项级数 164
§16.1 点态收敛和一致收敛 164
§16.1.1 点态收敛与收敛域 164
§16.1.2 函数项级数与函数列的基本问题 165
§16.1.3 一致收敛的定义 167
§16.1.4 函数列一致收敛与非一致收敛的判别 168
§16.2 级数一致收敛性的判别与一致收敛级数的性质 175
§16.2.1 函数项级数一致收敛性的判别 175
§16.2.2 一致收敛的函数列与函数项级数的性质 180
§16.3 幂级数 188
§16.3.1 幂级数的收敛域 189
§16.3.2 幂级数的性质 192
§16.3.3 Taylor级数与余项公式 195
§16.3.4 初等函数的幂级数展开 199
第17章 Fourier级数 208
§17.1 函数的Fourier级数展开 209
§17.1.1 平方可积函数空间与正交函数系 209
§17.1.2 周期为2π的函数的Fourier展开 211
§17.1.3 正弦级数和余弦级数 214
§17.1.4 任意周期的函数的Fourier展开 217
§17.2 Fourier级数的收敛判别法 218
§17.2.1 Dirichlet积分 219
§17.2.2 Riemann引理及其推论 220
§17.2.3 Fourier级数的收敛判别法 223
§17.3 Fourier级数的性质 228
§17.3.1 Fourier级数的分析性质 228
§17.3.2 Fourier级数的平方逼近性质 230
§17.4 Fourier变换 234
§17.4.1 Fourier积分 234
§17.4.2 Fourier变换及其逆变换 237
§17.4.3 Fourier变换的性质 239
参考文献 243
附录 数学分析III试卷 244
索引 251
致读者
第12章 曲线积分、曲面积分与场论初步 1
§12.1 第一型曲线积分与第一型曲面积分 1
§12.1.1 第一型曲线积分 1
§12.1.2 第一型曲面积分 6
§12.2 第二型曲线积分与第二型曲面积分 10
§12.2.1 第二型曲线积分 10
§12.2.2 第二型曲面积分 15
§12.3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式 24
§12.3.1 Green公式 24
§12.3.2 曲线积分与路径无关的条件 29
§12.3.3 Gauss公式 33
§12.3.4 Stokes公式 36
§12.4 场论初步 46
§12.4.1 场的概念 46
§12.4.2 数量场的等值面和梯度场 47
§12.4.3 向量场的通量与散度 48
§12.4.4 向量场的环量与旋度 50
§12.4.5 管量场与有势场 52
§12.4.6 Hamilton算子 53
第13章 反常积分 56
§13.1 反常积分的概念和计算 56
§13.1.1 反常积分的概念 56
§13.1.2 反常积分的性质与计算 61
§13.1.3 反常积分的Cauchy主值 64
§13.2 反常积分的收敛判别法 67
§13.2.1 无穷区间上的反常积分的收敛判别法 67
§13.2.2 瑕积分的收敛判别法 75
§13.3 反常重积分 80
§13.3.1 无穷反常重积分 80
§13.3.2 无界函数的反常二重积分 89
第14章 含参变量积分 93
§14.1 含参变量的常义积分 93
§14.1.1 含参变量积分的概念 93
§14.1.2 含参变量的常义积分所定义的函数的分析性质 94
§14.2 含参变量的反常积分 101
§14.2.1 含参变量的反常积分的一致收敛性 102
§14.2.2 含参变量反常积分一致收敛性的判别 103
§14.2.3 一致收敛积分的分析性质 109
§14.3 Euler积分 117
§14.3.1 Beta函数 117
§14.3.2 Gamma函数 119
§14.3.3 Beta函数与Gamma函数的关系 122
§14.3.4 Euler公式的拓展：Legendre公式、余元公式和Stirling公式 124
第15章 数项级数 127
§15.1 数项级数的收敛性 128
§15.1.1 数项级数的概念 128
§15.1.2 级数Cauchy收敛原理 129
§15.2 正项级数 133
§15.2.1 Cauchy判别法(或根式判别法(root test)) 133
§15.2.2 D'Alembert判别法(或比式判别法(ratio test)) 134
§15.2.3 积分判别法(integral test) 135
§15.2.4 Raabe判别法 138
§15.2.5 其他一些判别法 139
§15.3 任意项级数 141
§15.3.1 交错级数与Leibniz判别法 141
§15.3.2 Abel判别法与Dirichlet判别法 143
§15.3.3 级数的绝对收敛与条件收敛 146
§15.3.4 级数的重排 147
§15.3.5 级数的乘法 151
§15.4 无穷乘积 156
§15.4.1 无穷乘积定义 156
§15.4.2 无穷乘积的性质 159
§15.4.3 无穷乘积与无穷级数的转化 160
§15.4.4 绝对收敛 161
第16章 函数项级数 164
§16.1 点态收敛和一致收敛 164
§16.1.1 点态收敛与收敛域 164
§16.1.2 函数项级数与函数列的基本问题 165
§16.1.3 一致收敛的定义 167
§16.1.4 函数列一致收敛与非一致收敛的判别 168
§16.2 级数一致收敛性的判别与一致收敛级数的性质 175
§16.2.1 函数项级数一致收敛性的判别 175
§16.2.2 一致收敛的函数列与函数项级数的性质 180
§16.3 幂级数 188
§16.3.1 幂级数的收敛域 189
§16.3.2 幂级数的性质 192
§16.3.3 Taylor级数与余项公式 195
§16.3.4 初等函数的幂级数展开 199
第17章 Fourier级数 208
§17.1 函数的Fourier级数展开 209
§17.1.1 平方可积函数空间与正交函数系 209
§17.1.2 周期为2π的函数的Fourier展开 211
§17.1.3 正弦级数和余弦级数 214
§17.1.4 任意周期的函数的Fourier展开 217
§17.2 Fourier级数的收敛判别法 218
§17.2.1 Dirichlet积分 219
§17.2.2 Riemann引理及其推论 220
§17.2.3 Fourier级数的收敛判别法 223
§17.3 Fourier级数的性质 228
§17.3.1 Fourier级数的分析性质 228
§17.3.2 Fourier级数的平方逼近性质 230
§17.4 Fourier变换 234
§17.4.1 Fourier积分 234
§17.4.2 Fourier变换及其逆变换 237
§17.4.3 Fourier变换的性质 239
参考文献 243
附录 数学分析III试卷 244
索引 251
