目录

第1章　0的故事——无即是有
本章学习内容　2
小学一年级的回忆　2
10进制计数法　3
　什么是10进制计数法　3
　分解2503　3
2进制计数法　4
　什么是2进制计数法　4
　分解1100　5
　基数转换　6
　计算机中为什么采用2进制计数法　8
按位计数法　10
　什么是按位计数法　10
　不使用按位计数法的罗马数字　11
指数法则　12
　10的0次方是什么　12
　10-1是什么　13
　规则的扩展　14
　对20进行思考　14
　2-1是什么　15
0所起的作用　16
　0的作用：占位　16
　0的作用：统一标准，简化规则　16
　日常生活中的0　17
人类的极限和构造的发现　18
　重温历史进程　18
　为了超越人类的极限　19
本章小结　20

第2章　逻辑——真与假的二元世界
本章学习内容　22
为何逻辑如此重要　22
　逻辑是消除歧义的工具　22
　致对逻辑持否定意见的读者　23
乘车费用问题——兼顾完整性和排他性　23
　车费规则　23
　命题及其真假　24
　有没有”遗漏”　24
　有没有”重复”　25
　画一根数轴辅助思考　26
　注意边界值　28
　兼顾完整性和排他性　28
　使用if语句分解问题　28
　逻辑的基本是两个分支　29
建立复杂命题　30
　逻辑非——不是A　30
　逻辑与——A并且B　32
　逻辑或——A或者B　34
　异或——A或者B(但不都满足)　37
　相等——A和B等　39
　蕴涵——若A则B　40
　囊括所有了吗　45
德·摩根定律　46
　德·摩根定律是什么　46
　对偶性　47
卡诺图　48
　二灯游戏　48
　首先借助逻辑表达式进行思考　49
　学习使用卡诺图　50
　三灯游戏　52
包含未定义的逻辑　54
　带条件的逻辑与(&&)　55
　带条件的逻辑或(||)　57
　三值逻辑中的否定(！)　58
　三值逻辑的德?摩根定律　58
　囊括所有了吗　59
本章小结　60

第3章　余数——周期性和分组
本章学习内容　64
星期数的思考题(1)　64
　思考题(100天以后是星期几)　64
　思考题答案　64
　运用余数思考　65
　余数的力量——将较大的数字除一次就能分组　65
星期数的思考题(2)　66
　思考题(10100天以后是星期几)　66
　提示：可以直接计算吗　67
　思考题答案　67
　发现规律　68
　直观地把握规律　68
乘方的思考题　70
　思考题(1234567987654321)　70
　提示：通过试算找出规律　70
　思考题答案　70
　回顾：规律和余数的关系　71
通过黑白棋通信　71
　思考题　71
　提示　73
　思考题答案　73
　奇偶校验　73
　奇偶校验位将数字分为两个集合　74
寻找恋人的思考题　74
　思考题(寻找恋人)　74
　提示：先试算较小的数　74
　思考题答案　75
　回顾　75
铺设草席的思考题　77
　思考题(在房间里铺设草席)　77
　提示：先计算一下草席数　77
　思考题答案　78
　回顾　78
一笔画的思考题　79
　思考题(哥尼斯堡七桥问题)　79
　提示：试算一下　80
　提示：考虑简化一下　81
　提示：考虑入口和出口　82
　思考题答案　82
　奇偶校验　85
本章小结　86

第4章　数学归纳法——如何征服无穷数列
本章学习内容　88
高斯求和　88
　思考题(存钱罐里的钱)　88
　思考一下　89
　小高斯的解答　89
　讨论一下小高斯的解答　89
　归纳　91
数学归纳法——如何征服无穷数列　91
　0以上的整数的断言　92
　高斯的断言　93
　什么是数学归纳法　93
　试着征服无穷数列　94
　用数学归纳法证明高斯的断言　95
求出奇数的和——数学归纳法实例　96
　奇数的和　96
　通过数学归纳法证明　97
　图形化说明　98
黑白棋思考题——错误的数学归纳法　99
　思考题(黑白棋子的颜色)　99
　提示：不要为图所惑　100
　思考题答案　100
编程和数学归纳法　101
　通过循环表示数学归纳法　101
　循环不变式　103
本章小结　107

第5章　排列组合——解决计数问题的方法
本章学习内容　110
计数——与整数的对应关系　110
　何谓计数　110
　注意”遗漏”和”重复”　111
植树问题——不要忘记0　111
　植树问题思考题　111
加法法则　115
　加法法则　115
乘法法则　117
　乘法法则　117
置换　121
　置换　121
　归纳一下　122
　思考题(扑克牌的摆法)　123
排列　125
　排列　125
　归纳一下　126
　树形图——能够认清本质吗　128
组合　130
　组合　130
　归纳一下　131
　置换、排列、组合的关系　132
思考题练习　134
　重复组合　134
　也要善于运用逻辑　136
本章小结　139

第6章　递归——自己定义自己
本章学习内容　142
汉诺塔　142
　思考题(汉诺塔)　142
　提示：先从小汉诺塔着手　143
　思考题答案　146
　求出解析式　148
　解出汉诺塔的程序　149
　找出递归结构　150
再谈阶乘　151
　阶乘的递归定义　152
　思考题(和的定义)　153
　递归和归纳　153
斐波那契数列　154
　思考题(不断繁殖的动物)　154
　斐波那契数列　157
帕斯卡三角形　159
　什么是帕斯卡三角形　159
　递归定义组合数　162
　组合的数学理论解释　163
递归图形　165
　以递归形式画树　165
　实际作图　166
　谢尔平斯基三角形　167
本章小结　168

第7章　指数爆炸——如何解决复杂问题
本章学习内容　172
什么是指数爆炸　172
　思考题(折纸问题)　172
　指数爆炸　175
倍数游戏——指数爆炸引发的难题　176
　程序的设置选项　176
　不能认为是”有限的”就不假思索　178
二分法查找——利用指数爆炸进行查找　178
　寻找犯人的思考题　178
　提示：先思考人数较少的情况　179
　思考题答案　180
　找出递归结构以及递推公式　181
　二分法查找和指数爆炸　183
对数——掌握指数爆炸的工具　184
　什么是对数　184
　对数和乘方的关系　184
　以2为底的对数　186
　以2为底的对数练习　186
　对数图表　187
　指数法则和对数　188
　对数和计算尺　190
密码——利用指数爆炸加密　193
　暴力破解法　193
　字长和安全性的关系　193
如何处理指数爆炸　195
　理解问题空间的大小　195
　四种处理方法　195
本章小结　196

第8章　不可解问题——不可解的数、无法编写的程序
本章学习内容　200
反证法　200
　什么是反证法　200
　质数思考题　202
　反证法的注意事项　203
可数　203
　什么是可数　203
　可数集合的例子　204
　有没有不可数的集合　206
对角论证法　207
　所有整数数列的集合是不可数的　207
　所有实数的集合是不可数的　211
　所有函数的集合也是不可数的　212
不可解问题　213
　什么是不可解问题　213
　存在不可解问题　214
　思考题　215
停机问题　215
　停机　216
　处理程序的程序　217
　什么是停机问题　217
　停机问题的证明　219
　写给尚未理解的读者　222
　不可解问题有很多　223
本章小结　224

第9章　什么是程序员的数学——总结篇
本章学习内容　226
何为解决问题　229
　认清模式，进行抽象化　229
　由不擅长催生出的智慧　229
　幻想法则　230
　程序员的数学　231