泛函分析(第2版)
作者: 孙炯,贺飞,郝晓玲等
出版时间:2018-09-12
出版社:高等教育出版社
“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材普通高等教育“十一五”国家级规划教材
- 高等教育出版社
- 9787040496383
- 2版
- 227653
- 44258300-1
- 平装
- 16开
- 2018-09-12
- 300
- 122
- 理学
- 数学
- O177
- 数学类
- 本科
本书是高等学校数学与应用数学专业“泛函分析”课程的教材。全书主要内容包括:绪论,距离空间,赋范空间,内积空间与Hilbert 空间,有界线性算子,共轭空间和共轭算子,线性算子的谱理论,附录。
本书从有限维空间元素的分解、对称矩阵按照特征值对角化等实例出发,采用类比、归纳等方法,把有限维空间的数学方法自然地推广到无穷维空间。第一、二、三章建立起相应的空间框架,第四、五、六章介绍了有界线性算子的重要性质,自共轭算子、紧算子的谱分解结构。本书在讲述上更多地强调问题的来源和背景,努力做到深入浅出。为了便于学习阅读,定理的证明写得较为详细,其用到的条件都加以标示,并且在一些重要定理前加入了较为详细的证明思路分析。每章的后面还配备了数量较多的习题。
本书还配套了一些数字化资源,其中包括每章的学习指南、概念辨析(可通过手机进行在线自测),部分习题的解题指导,特别是在每章还增加了两到三个微视频,对本章的重点、难点,问题的背景和一些重要的概念给出简要的解读,供读者预习、复习或自学时参考。本书可作为综合性大学、理工科大学、师范院校“泛函分析”课程的教材,也可作为非数学专业研究生“泛函分析”课程的教材,同时可供青年教师和数学工作者学习参考。
前辅文
第○章 绪论
§ 0.1 泛函分析的研究对象和方法
§ 0.2 有限维空间的坐标分解和算子分解
§ 0.3 无穷维空间的类比和联想
§ 0.4 无穷维空间的坐标分解
§ 0.5 无穷维空间的线性算子与谱分解
第一章 距离空间
§ 1.1 距离空间的基本概念
1.1.1 距离空间的定义
1.1.2 距离空间的例
1.1.3 距离空间中的收敛
§ 1.2 开集和连续映射
1.2.1 开集、邻域
1.2.2 连续映射
§ 1.3 闭集 可分性 列紧性
1.3.1 距离空间中的闭集
1.3.2 闭集的结构
1.3.3 可分的距离空间
1.3.4 列紧的距离空间
§ 1.4 完备的距离空间
1.4.1 Cauchy 列
1.4.2 完备的距离空间
1.4.3 完备与不完备距离空间的例
*1.4.4 距离空间的完备化
§ 1.5 完备距离空间的性质和一些应用
1.5.1 闭球套定理
1.5.2 压缩映射原理
1.5.3 压缩映射原理的应用
习题一
概念辨析一
部分习题参考答案一
第二章 赋范空间
§ 2.1 赋范空间的基本概念
2.1.1 赋范空间和 Banach 空间的定义
2.1.2 范数的连续性
2.1.3 范数与距离的关系
§ 2.2 完备的赋范空间
2.2.1 连续函数空间上定义的不同范数
*2.2.2 赋范空间的完备化
2.2.3 Lp 空间
2.2.4 L∞ 空间
2.2.5 lp 空间
§ 2.3 赋范空间的几何结构
2.3.1 凸集
2.3.2 子空间
2.3.3 Riesz 引理
§ 2.4 有限维的赋范空间
2.4.1 等价的范数
2.4.2 有限维空间
2.4.3 有限维赋范空间的几何特征
*§ 2.5 赋范空间的进一步性质
2.5.1 赋范空间中的级数
2.5.2 赋范空间的商空间
2.5.3 赋范空间的乘积空间
习题二
概念辨析二
部分习题参考答案二
第三章 内积空间与 Hilbert 空间
§ 3.1 内积空间的基本性质
3.1.1 内积空间的定义
3.1.2 由内积生成的范数
3.1.3 内积和相应范数的关系
3.1.4 完备的内积空间
§ 3.2 正交与正交分解
3.2.1 正交的定义
3.2.2 正交补集
3.2.3 最佳逼近
3.2.4 Hilbert 空间的正交分解
§ 3.3 正交系、正交投影和 Fourier 级数
3.3.1 内积空间中的正交系
3.3.2 最佳逼近和正交投影
3.3.3 正交投影和 Fourier 级数
3.3.4 Bessel 不等式和 Fourier 级数的收敛性
§ 3.4 正交基和正交列的完备性
3.4.1 正交基
3.4.2 正交列的完备性
3.4.3 标准正交基的例
§ 3.5 可分的 Hilbert 空间
3.5.1 线性无关组的正交化算法
3.5.2 可分的 Hilbert 空间与 l2 等距同构
习题三
概念辨析三
部分习题参考答案三
第四章 有界线性算子
§ 4.1 有界线性算子与有界线性泛函
4.1.1 有界线性算子与有界线性泛函的定义
4.1.2 有界线性算子组成的赋范空间/ 123
4.1.3 有界线性算子的例
4.1.4 有界线性算子范数的计算
§ 4.2 有界线性算子空间的收敛与完备性
4.2.1 有界线性算子空间中的收敛性
4.2.2 有界线性算子空间的完备性
§ 4.3 一致有界原则
4.3.1 Baire 纲定理
4.3.2 一致有界原则
4.3.3 强收敛意义下的完备性
*4.3.4 共鸣定理的应用
§ 4.4 开映射定理与逆算子定理
4.4.1 逆算子
4.4.2 开映射定理
4.4.3 逆算子定理
§ 4.5 闭算子与闭图像定理
4.5.1 闭算子的定义
4.5.2 闭算子的例
4.5.3 闭图像定理
习题四
概念辨析四
部分习题参考答案四
第五章 共轭空间和共轭算子
§ 5.1 Hahn-Banach 定理
5.1.1 Hahn-Banach 定理
5.1.2 Hahn-Banach 定理的推论
5.1.3 线性泛函和闭集分离
§ 5.2 共轭空间
5.2.1 共轭空间的概念
5.2.2 Lp[a,b] 的共轭空间 (1
§ 5.3 Hilbert 空间的共轭空间 共轭算子
5.3.1 Riesz 表示定理
5.3.2 Hilbert 空间的共轭空间
5.3.3 Hilbert 空间上的共轭算子
§ 5.4 自共轭的有界线性算子
5.4.1 有界自共轭算子的定义和例
5.4.2 自共轭算子的性质
5.4.3 Cartesian 分解
*§ 5.5 Banach 空间上的共轭算子 弱收敛
5.5.1 Banach 空间上的共轭算子
5.5.2 自反性
5.5.3 弱收敛
5.5.4 一些具体空间中的弱收敛
习题五
概念辨析五
部分习题参考答案五
第六章 线性算子的谱理论
§ 6.1 谱集和正则点集
6.1.1 从线性代数和微分方程中的特征值问题到线性算子的谱理论
6.1.2 谱点和正则点的定义
6.1.3 特征值和特征元素
*6.1.4 闭线性算子的正则点
§ 6.2 有界线性算子的谱集
6.2.1 有界线性算子的谱集是有界集
6.2.2 有界线性算子的谱集是闭集
6.2.3 有界线性算子的谱集非空
*6.2.4 有界线性算子的谱半径
§ 6.3 有界自共轭线性算子的谱
6.3.1 有界自共轭线性算子剩余谱集是空集
附录
附录I 距离空间的紧性
附录II 线性空间
附录III Lp空间
附录IV 有界变差函数空间V[a,b]
参考文献