- 清华大学出版社
- 9787302622840
- 1-1
- 464194
- 44253169-5
- 16开
- 2023-01
- 通用
- 本科
作者简介
内容简介
《复变函数与积分变换》根据教育部“工科类本科数学基础课程教学基本要求”的精神，从数学思维、前沿发展等角度，深度挖掘复变函数与积分变换的传统精髓内容，力求突出应用数学思想、概念、方法分析和解决工程实践中复杂问题的教学理念。 《复变函数与积分变换》主要内容包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换。每章配有MATLAB在“复变函数与积分变换”课程中的基本使用方法。同时，本教材配备了相应的视频资源、电子课件、习题集、试题库等网络课程资源，可供学生线上学习。 《复变函数与积分变换》可作为高等院校理工科各专业的教材，也可作为科研学者及有关教师的参考书。
目录
目 录
第1章 复变函数与解析函数 1
1.1 复数 1
1.1.1 复数的基本概念 1
1.1.2 复平面 1
1.1.3 复数的乘幂与方根 5
1.1.4 复球面 8
1.1.5 区域 9
1.2 复变函数 12
1.2.1. 复变函数的概念 12
1.2.2 映射 13
1.2.3 复变函数的极限 14
1.2.4 复变函数的连续性 16
1.3 解析函数的概念及充要条件 17
1.3.1 复变函数的导数 17
1.3.2 解析函数的概念 19
1.3.3 函数解析的充要条件 20
1.4 初等函数 24
1.4.1 指数函数 24
1.4.2 对数函数 25
1.4.3 乘幂和幂函数 27
1.4.4 三角函数 28
1.4.5 反三角函数 30
1.4.6 双曲函数与反双曲函数 30
1.5 MATLAB实验 31
1.5.1 复数与复矩阵的生成 31
1.5.2 复数的运算 32
1.5.3 复变函数的极限和导数 34
本章小结 35
复习思考题 36
第2章 复变函数的积分 39
2.1 复变函数积分的概念 39
2.1.1 有向曲线 39
2.1.2 复积分的定义 40
2.1.3 复积分的性质 41
2.1.4 复积分存在的条件与基本
计算方法 41
2.2 复变函数积分的基本定理 45
2.2.1 柯西-古萨基本定理 45
2.2.2 基本定理的推广——复合
闭路定理 46
2.3 原函数与不定积分 48
2.3.1 变上限积分 48
2.3.2 不定积分 50
2.4 复变函数积分的基本公式 51
2.4.1 柯西积分公式 51
2.4.2 解析函数的高阶导数 54
2.5 解析函数与调和函数的关系 57
2.5.1 调和函数与共轭调和函数的
概念 57
2.5.2 利用调和函数构造解析
函数 58
2.6 MATLAB实验 60
本章小结 61
复习思考题 62
第3章 级数 65
3.1 复变函数项级数 65
3.1.1 复数列的极限 65
3.1.2 复数项级数及其审敛法 67
3.1.3 复变函数项级数的基本
概念 68
3.1.4 幂级数及其收敛性 69
3.1.5 幂级数的运算性质 73
3.2 泰勒级数 75
3.2.1 泰勒展开定理 75
3.2.2 函数的泰勒展开式 77
3.3 洛朗级数 79
3.3.1 双边幂级数 80
3.3.2 洛朗展开定理 81
3.3.3 函数的洛朗展开式 84
3.4 MATLAB实验 89
3.4.1 复数项无穷级数敛散性的
判定 89
3.4.2 泰勒级数展开式 90
本章小结 91
复习思考题 92
第4章 留数 94
4.1 孤立奇点 94
4.1.1 可去奇点 95
4.1.2 极点 96
4.1.3 本性奇点 97
4.1.4 解析函数中零点与极点的
关系 97
4.1.5 函数在无穷远点的性态 99
4.2 留数的定义及计算 101
4.2.1 留数的概念及定理 101
4.2.2 留数的计算规则 103
4.2.3 在无穷远点留数的计算 105
4.3 留数在定积分计算中的应用 108
4.3.1 形如的
积分 108
4.3.2 形如的积分 109
4.3.3 形如的
积分 110
4.4 MATLAB实验 112
4.4.1 复变函数为有理分式函数 112
4.4.2 其他类型函数 113
本章小结 114
复习思考题 115
第5章 共形映射 117
5.1 共形映射概述 117
5.1.1 两曲线的夹角 117
5.1.2 解析函数导数的几何意义 118
5.1.3 共形映射的概念 120
5.2 分式线性映射 121
5.2.1 分式线性映射的概念 121
5.2.2 分式线性映射的性质 124
5.3 唯一确定分式线性映射的条件 128
5.4 上半平面与单位圆域的分式线性
映射 130
5.5 幂函数与指数函数所构成的映射 134
5.5.1 幂函数（且为
整数） 134
5.5.2 指数函数 135
5.6 MATLAB实验 136
5.6.1 MATLAB在分式线性映射
中的应用 136
5.6.2 MATLAB在共形映射图形
中的应用 137
本章小结 138
复习思考题 139
第6章 傅里叶变换 140
6.1 傅里叶积分 140
6.1.1 傅里叶级数 140
6.1.2 傅里叶积分定理 142
6.2 傅里叶变换 145
6.2.1 傅里叶变换与傅里叶
逆变换的概念 145
6.2.2 单位脉冲函数的概念
与性质 148
6.2.3 单位脉冲函数的傅里叶
变换 151
6.3 傅里叶变换的性质 153
6.3.1 线性性质 153
6.3.2 位移性质 154
6.3.3 相似性质 155
6.3.4 对称性质 156
6.3.5 微分性质 156
6.3.6 积分性质 157
6.3.7 帕塞瓦尔（Parserval）等式 158
6.4 卷积 159
6.4.1 卷积的概念 159
6.4.2 卷积定理 162
6.5 傅里叶变换的应用 164
6.6 MATLAB实验 166
6.6.1 傅里叶变换 166
6.6.2 傅里叶逆变换 167
6.6.3 卷积 167
本章小结 167
复习思考题 168
第7章 拉普拉斯变换 171
7.1 拉普拉斯变换的概念 171
7.1.1 拉普拉斯变换的定义 171
7.1.2 拉普拉斯变换的存在定理 173
7.1.3 周期函数的拉普拉斯变换 176
7.2 拉普拉斯变换的性质 178
7.2.1 线性性质 178
7.2.2 微分性质 178
7.2.3 积分性质 180
7.2.4 位移性质 181
7.2.5 延迟性质 182
7.2.6 相似性质 185
7.2.7* 初值定理与终值定理 185
7.3 卷积 187
7.3.1 卷积的概念 187
7.3.2 卷积定理 188
7.4 拉普拉斯逆变换 191
7.4.1 反演积分公式 191
7.4.2 利用留数计算反演积分 191
7.5 拉普拉斯变换的应用 197
7.5.1 解线性常微分方程 197
7.5.2 解积分微分方程 201
7.5.3 解线性常微分方程组 203
7.5.4* 解常系数线性偏微分
方程 204
7.5.5* 线性系统的传递函数 207
7.6 MATLAB实验 209
7.6.1 拉普拉斯变换 209
7.6.2 拉普拉斯逆变换 210
7.6.3 卷积 211
本章小结 211
复习思考题 212
附录Ⅰ 傅里叶变换简表 215
附录Ⅱ 拉普拉斯变换简表 218
参考文献 222
第1章 复变函数与解析函数 1
1.1 复数 1
1.1.1 复数的基本概念 1
1.1.2 复平面 1
1.1.3 复数的乘幂与方根 5
1.1.4 复球面 8
1.1.5 区域 9
1.2 复变函数 12
1.2.1. 复变函数的概念 12
1.2.2 映射 13
1.2.3 复变函数的极限 14
1.2.4 复变函数的连续性 16
1.3 解析函数的概念及充要条件 17
1.3.1 复变函数的导数 17
1.3.2 解析函数的概念 19
1.3.3 函数解析的充要条件 20
1.4 初等函数 24
1.4.1 指数函数 24
1.4.2 对数函数 25
1.4.3 乘幂和幂函数 27
1.4.4 三角函数 28
1.4.5 反三角函数 30
1.4.6 双曲函数与反双曲函数 30
1.5 MATLAB实验 31
1.5.1 复数与复矩阵的生成 31
1.5.2 复数的运算 32
1.5.3 复变函数的极限和导数 34
本章小结 35
复习思考题 36
第2章 复变函数的积分 39
2.1 复变函数积分的概念 39
2.1.1 有向曲线 39
2.1.2 复积分的定义 40
2.1.3 复积分的性质 41
2.1.4 复积分存在的条件与基本
计算方法 41
2.2 复变函数积分的基本定理 45
2.2.1 柯西-古萨基本定理 45
2.2.2 基本定理的推广——复合
闭路定理 46
2.3 原函数与不定积分 48
2.3.1 变上限积分 48
2.3.2 不定积分 50
2.4 复变函数积分的基本公式 51
2.4.1 柯西积分公式 51
2.4.2 解析函数的高阶导数 54
2.5 解析函数与调和函数的关系 57
2.5.1 调和函数与共轭调和函数的
概念 57
2.5.2 利用调和函数构造解析
函数 58
2.6 MATLAB实验 60
本章小结 61
复习思考题 62
第3章 级数 65
3.1 复变函数项级数 65
3.1.1 复数列的极限 65
3.1.2 复数项级数及其审敛法 67
3.1.3 复变函数项级数的基本
概念 68
3.1.4 幂级数及其收敛性 69
3.1.5 幂级数的运算性质 73
3.2 泰勒级数 75
3.2.1 泰勒展开定理 75
3.2.2 函数的泰勒展开式 77
3.3 洛朗级数 79
3.3.1 双边幂级数 80
3.3.2 洛朗展开定理 81
3.3.3 函数的洛朗展开式 84
3.4 MATLAB实验 89
3.4.1 复数项无穷级数敛散性的
判定 89
3.4.2 泰勒级数展开式 90
本章小结 91
复习思考题 92
第4章 留数 94
4.1 孤立奇点 94
4.1.1 可去奇点 95
4.1.2 极点 96
4.1.3 本性奇点 97
4.1.4 解析函数中零点与极点的
关系 97
4.1.5 函数在无穷远点的性态 99
4.2 留数的定义及计算 101
4.2.1 留数的概念及定理 101
4.2.2 留数的计算规则 103
4.2.3 在无穷远点留数的计算 105
4.3 留数在定积分计算中的应用 108
4.3.1 形如的
积分 108
4.3.2 形如的积分 109
4.3.3 形如的
积分 110
4.4 MATLAB实验 112
4.4.1 复变函数为有理分式函数 112
4.4.2 其他类型函数 113
本章小结 114
复习思考题 115
第5章 共形映射 117
5.1 共形映射概述 117
5.1.1 两曲线的夹角 117
5.1.2 解析函数导数的几何意义 118
5.1.3 共形映射的概念 120
5.2 分式线性映射 121
5.2.1 分式线性映射的概念 121
5.2.2 分式线性映射的性质 124
5.3 唯一确定分式线性映射的条件 128
5.4 上半平面与单位圆域的分式线性
映射 130
5.5 幂函数与指数函数所构成的映射 134
5.5.1 幂函数（且为
整数） 134
5.5.2 指数函数 135
5.6 MATLAB实验 136
5.6.1 MATLAB在分式线性映射
中的应用 136
5.6.2 MATLAB在共形映射图形
中的应用 137
本章小结 138
复习思考题 139
第6章 傅里叶变换 140
6.1 傅里叶积分 140
6.1.1 傅里叶级数 140
6.1.2 傅里叶积分定理 142
6.2 傅里叶变换 145
6.2.1 傅里叶变换与傅里叶
逆变换的概念 145
6.2.2 单位脉冲函数的概念
与性质 148
6.2.3 单位脉冲函数的傅里叶
变换 151
6.3 傅里叶变换的性质 153
6.3.1 线性性质 153
6.3.2 位移性质 154
6.3.3 相似性质 155
6.3.4 对称性质 156
6.3.5 微分性质 156
6.3.6 积分性质 157
6.3.7 帕塞瓦尔（Parserval）等式 158
6.4 卷积 159
6.4.1 卷积的概念 159
6.4.2 卷积定理 162
6.5 傅里叶变换的应用 164
6.6 MATLAB实验 166
6.6.1 傅里叶变换 166
6.6.2 傅里叶逆变换 167
6.6.3 卷积 167
本章小结 167
复习思考题 168
第7章 拉普拉斯变换 171
7.1 拉普拉斯变换的概念 171
7.1.1 拉普拉斯变换的定义 171
7.1.2 拉普拉斯变换的存在定理 173
7.1.3 周期函数的拉普拉斯变换 176
7.2 拉普拉斯变换的性质 178
7.2.1 线性性质 178
7.2.2 微分性质 178
7.2.3 积分性质 180
7.2.4 位移性质 181
7.2.5 延迟性质 182
7.2.6 相似性质 185
7.2.7* 初值定理与终值定理 185
7.3 卷积 187
7.3.1 卷积的概念 187
7.3.2 卷积定理 188
7.4 拉普拉斯逆变换 191
7.4.1 反演积分公式 191
7.4.2 利用留数计算反演积分 191
7.5 拉普拉斯变换的应用 197
7.5.1 解线性常微分方程 197
7.5.2 解积分微分方程 201
7.5.3 解线性常微分方程组 203
7.5.4* 解常系数线性偏微分
方程 204
7.5.5* 线性系统的传递函数 207
7.6 MATLAB实验 209
7.6.1 拉普拉斯变换 209
7.6.2 拉普拉斯逆变换 210
7.6.3 卷积 211
本章小结 211
复习思考题 212
附录Ⅰ 傅里叶变换简表 215
附录Ⅱ 拉普拉斯变换简表 218
参考文献 222
