- 高等教育出版社
- 9787040657029
- 1版
- 64270695-6
- 特殊
- 理学
- 数学类
- 数学类
- 本科 研究生及以上
内容简介
本书内容主要包括复变函数、积分变换、数学物理方程这三部分。第一部分是复变函数，内容包括解析函数、复变函数的积分与级数展开、留数理论及其应用、解析延拓。第二部分内容包括常微分方程的求解方法、积分变换、广义函数。第三部分是数学物理方程，介绍三类典型偏微分方程的几种求解方法（分离变量法、积分变换法、Green函数法、行波法），此外，本书对变分法也作了初步介绍。全书力求理论严谨，证明完整，阐述清晰。书中有一定数量的例题和较多的难易程度不同的习题，可用于不同层次学习的需要。
本书可作为理工科专业特别是物理专业本科生数学物理方法课程的教学用书，也可供有关专业的研究生、教师和科技人员参考。
目录
目录
前辅文
第一章 复变函数与解析函数
1.1 复数及其运算
1.1.1 复数的概念
1.1.2 复数的表示
1.1.3 复数的代数运算
1.1.4 复数序列的极限
习题1.1
1.2 复变函数的极限与连续性
1.2.1 区域
1.2.2 复变函数的极限
1.2.3 复变函数的连续性
习题1.2
1.3 复变函数的导数
1.3.1 导数与微分
1.3.2 复变函数可导的条件
1.3.3 复变函数导数的几何意义
习题1.3
1.4 解析函数
1.4.1 解析函数的定义
1.4.2 函数解析的条件
1.4.3 解析函数的共轭性、调和性和保角性
习题1.4
1.5 初等复变函数
1.5.1 指数函数
1.5.2 对数函数
1.5.3 幂函数
1.5.4 三角函数
1.5.5 双曲函数
1.5.6 反三角函数
1.5.7 反双曲函数
习题1.5
1.6 多值函数
1.6.1 根式函数√z−a
1.6.2 无穷远点∞作为支点
1.6.3 对数函数w=Lnz
习题1.6
*1.7 分式线性变换
1.7.1 解析映射的几何特征
1.7.2 典型的分式线性变换
1.7.3 分式线性变换的确定
1.7.4 典型区域的分式线性变换
习题1.7
*1.8 解析函数在平面向量场中的应用
1.8.1 解析函数与平面向量场
1.8.2 复势在流体力学中的应用
1.8.3 复势在静电场中的应用
1.8.4 复势在热流场中的应用
1.8.5 总结
习题1.8
第二章 复变函数的积分
2.1 复变函数积分的定义与性质
2.1.1 复变函数积分的定义
2.1.2 复变函数积分的性质
2.2 复变函数积分的计算
2.2.1 化成两个实变量积分计算
2.2.2 化成曲线参数的积分
2.2.3 Jordan引理
习题2.2
2.3 解析函数的Cauchy定理
2.3.1 单连通区域的Cauchy定理
*2.3.2 Cauchy定理的Goursat证明
2.3.3 原函数与定积分公式
2.3.4 多连通区域的Cauchy定理
2.3.5 小圆弧引理和大圆弧引理
习题2.3
2.4 解析函数的Cauchy积分公式
2.4.1 Cauchy积分公式
2.4.2 高阶导数公式
2.4.3 最大模原理
2.4.4 Cauchy型积分
2.4.5 含参量积分的解析性
习题2.4
2.5 Cauchy积分公式的应用
习题2.5
*2.6 Poisson公式
2.6.1 上半平面的Poisson公式
2.6.2 圆内区域的Poisson公式
习题2.6
第三章 复变函数的级数
3.1 复数项级数
习题3.1
3.2 复变函数项级数
3.2.1 复变函数项级数的收敛性
3.2.2 绝对收敛级数的判别法和性质
3.2.3 一致收敛级数的判别法和性质
习题3.2
3.3 幂级数
3.3.1 Abel定理
3.3.2 幂级数在收敛圆内的性质
3.3.3 幂级数收敛半径的计算
习题3.3
3.4 解析函数的Taylor级数展开
3.4.1 Taylor定理
3.4.2 解析函数展开成Taylor级数的方法
习题3.4
3.5 解析函数的Laurent级数展开
3.5.1 Laurent定理
3.5.2 解析函数展开成Laurent级数的方法
习题3.5
3.6 解析函数的零点和孤立奇点
3.6.1 解析函数的零点与零点的孤立性
3.6.2 解析函数的唯一性
3.6.3 孤立奇点与非孤立奇点
3.6.4 孤立奇点的分类
3.6.5 作为孤立奇点的无穷远点
习题3.6
第四章 留数及其应用
4.1 留数定理
4.2 无穷远点的留数
习题4.2
4.3 利用留数定理计算实函数的积分
4.3.1 三角有理函数
4.3.2 计算∫∞−∞P(x)/Q(x)dx型的有理函数积分
4.3.3 计算∫∞−∞P(x)/Q(x)eiλxdx型的积分
4.4 积分路径上有奇点的情况
习题4.4
4.5 涉及多值函数的复变积分
4.5.1∫∞0xs−1Q(x)dx型积分
4.5.2∫∞0f(x)lnxdx型积分
习题4.5
*4.6 辐角原理和Rouché定理
习题4.6
第五章 解析延拓
5.1 解析延拓的概念
5.2 用Taylor级数进行解析延拓
5.3 用函数关系进行解析延拓
5.4 Γ函数的性质
5.5 B函数
习题5
第六章 常微分方程
6.1 可分离变量的方程
6.2 可化为分离变量方程的一阶方程
习题6.2
6.3 一阶线性方程
习题6.3
6.4 全微分方程
习题6.4
6.5 二阶线性方程
6.5.1 二阶线性齐次常微分方程通解的结构
6.5.2 常数变易法
6.5.3 二阶常系数线性齐次常微分方程的特征根解法
6.5.4 特殊非齐次项的二阶常系数线性非齐次常微分方程的求解
*6.6 高阶线性齐次常微分方程的n个线性无关解
习题6.6
第七章 二阶线性常微分方程的幂级数解法
7.1 方程的常点与奇点
7.2 常点邻域内的幂级数解法
7.3 正则奇点邻域内的幂级数解法
*7.4 非正则奇点邻域内的幂级数解法
习题7
第八章 积分变换
8.1 Fourier变换
8.1.1 Fourier级数
8.1.2 复数形式的Fourier级数
8.1.3 Fourier积分
8.1.4 Fourier变换
8.1.5 Fourier变换的性质
习题8.1
8.2 Laplace变换
8.2.1 Laplace变换的定义
8.2.2 常用函数的Laplace变换
8.2.3 Laplace变换的性质
8.2.4 Laplace反演展开定理
习题8.2
第九章 广义函数简介
9.1 δ函数的引入
*9.2 基本函数空间
9.2.1 广义函数的概念
9.2.2 常用基本函数空间
9.2.3 D′(Rn), S′(Rn), C′(Rn)广义函数
*9.3 广义函数的运算
9.3.1 广义函数的极限
9.3.2 广义函数的导数
*9.4 广义函数的Fourier变换
9.5 一维δ函数的常用性质
习题9
第十章 偏微分方程及其定解条件
*10.1 二阶线性偏微分方程的分类与化简
10.1.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程
10.1.2 特征方程与方程的分类
10.1.3 三类方程的标准形式
习题10.1
10.2 波动问题
10.2.1 弦的横振动方程
10.2.2 杆的纵振动方程
10.2.3 定解条件
10.3 输运问题
10.3.1 一维热传导方程
10.3.2 三维热传导方程
10.3.3 定解条件
10.4 稳定场问题
10.4.1 静电场方程
10.4.2 定解条件
10.5 定解问题的适定性
习题10.5
第十一章 分离变量法
11.1 两端固定弦的自由振动问题
11.1.1 分离变量法求解
11.1.2 级数解的物理意义
11.2 一维热传导问题
11.3 二维热传导问题
11.4 二维Laplace方程的定解问题
习题11.4
11.5 非齐次方程的齐次化
11.5.1 齐次化方法一: Duhamel原理
11.5.2 波动方程的Duhamel原理
11.5.3 热传导方程的Duhamel原理
11.5.4 齐次化方法二: 辅助函数法
11.5.5 齐次化方法三: 本征函数展开法
11.6 非齐次边界条件的齐次化
习题11.6
第十二章 积分变换法
12.1 Fourier变换法
12.2 半无界问题: Fourier正弦变换和余弦变换
12.3 Laplace变换法
习题12
第十三章 Green函数法
13.1 Green公式
13.2 基本解
13.3 位势方程基本解的求法
13.4 位势方程边值问题的Green函数法
13.4.1 Green函数
13.4.2 Poisson方程边值问题之解的Green函数表示
13.5 位势方程Green函数的求法
13.5.1 本征函数展开法
13.5.2 镜像法
13.6 热传导方程的Green函数法
13.6.1 一维热传导方程在无界区域的Green函数
13.6.2 一维热传导方程在有界区域的Green函数
13.6.3 Green函数的求解
13.7 波动方程的Green函数法
13.7.1 无界空间的Green函数
13.7.2 有界空间的Green函数
13.7.3 Green函数的求解
习题13
第十四章 行波法
14.1 一维无界弦的自由振动问题
14.1.1 d’Alembert公式
14.1.2 物理意义
14.2 波的依赖区域、决定区域和影响区域
14.3 一维无界弦的受迫振动问题
14.4 三维无界空间的自由振动问题
14.4.1 Poisson公式
14.4.2 物理意义
习题14
第十五章 正交曲线坐标系中的分离变量法
15.1 正交曲线坐标系
15.2 圆形区域的分离变量法
15.3 Helmholtz方程在柱坐标系下的分离变量法
15.4 Helmholtz方程在球坐标系下的分离变量法
习题15
第十六章 变分法初步
16.1 泛函的极值
16.1.1 最速降线问题
16.1.2 测地线问题
16.1.3 等周问题
16.2 变分及其性质
16.3 Euler方程
16.4 依赖于多个函数的泛函
*16.5 依赖于高阶导数的泛函
*16.6 依赖于含多个自变量函数的泛函
16.6.1 两个自变量的二元函数
16.6.2 n个自变量的多元函数
*16.7 条件极值的变分问题
16.7.1 不含导数型的约束
16.7.2 含导数型的约束
16.7.3 一般等周问题
习题16
参考文献
名词索引
前辅文
第一章 复变函数与解析函数
1.1 复数及其运算
1.1.1 复数的概念
1.1.2 复数的表示
1.1.3 复数的代数运算
1.1.4 复数序列的极限
习题1.1
1.2 复变函数的极限与连续性
1.2.1 区域
1.2.2 复变函数的极限
1.2.3 复变函数的连续性
习题1.2
1.3 复变函数的导数
1.3.1 导数与微分
1.3.2 复变函数可导的条件
1.3.3 复变函数导数的几何意义
习题1.3
1.4 解析函数
1.4.1 解析函数的定义
1.4.2 函数解析的条件
1.4.3 解析函数的共轭性、调和性和保角性
习题1.4
1.5 初等复变函数
1.5.1 指数函数
1.5.2 对数函数
1.5.3 幂函数
1.5.4 三角函数
1.5.5 双曲函数
1.5.6 反三角函数
1.5.7 反双曲函数
习题1.5
1.6 多值函数
1.6.1 根式函数√z−a
1.6.2 无穷远点∞作为支点
1.6.3 对数函数w=Lnz
习题1.6
*1.7 分式线性变换
1.7.1 解析映射的几何特征
1.7.2 典型的分式线性变换
1.7.3 分式线性变换的确定
1.7.4 典型区域的分式线性变换
习题1.7
*1.8 解析函数在平面向量场中的应用
1.8.1 解析函数与平面向量场
1.8.2 复势在流体力学中的应用
1.8.3 复势在静电场中的应用
1.8.4 复势在热流场中的应用
1.8.5 总结
习题1.8
第二章 复变函数的积分
2.1 复变函数积分的定义与性质
2.1.1 复变函数积分的定义
2.1.2 复变函数积分的性质
2.2 复变函数积分的计算
2.2.1 化成两个实变量积分计算
2.2.2 化成曲线参数的积分
2.2.3 Jordan引理
习题2.2
2.3 解析函数的Cauchy定理
2.3.1 单连通区域的Cauchy定理
*2.3.2 Cauchy定理的Goursat证明
2.3.3 原函数与定积分公式
2.3.4 多连通区域的Cauchy定理
2.3.5 小圆弧引理和大圆弧引理
习题2.3
2.4 解析函数的Cauchy积分公式
2.4.1 Cauchy积分公式
2.4.2 高阶导数公式
2.4.3 最大模原理
2.4.4 Cauchy型积分
2.4.5 含参量积分的解析性
习题2.4
2.5 Cauchy积分公式的应用
习题2.5
*2.6 Poisson公式
2.6.1 上半平面的Poisson公式
2.6.2 圆内区域的Poisson公式
习题2.6
第三章 复变函数的级数
3.1 复数项级数
习题3.1
3.2 复变函数项级数
3.2.1 复变函数项级数的收敛性
3.2.2 绝对收敛级数的判别法和性质
3.2.3 一致收敛级数的判别法和性质
习题3.2
3.3 幂级数
3.3.1 Abel定理
3.3.2 幂级数在收敛圆内的性质
3.3.3 幂级数收敛半径的计算
习题3.3
3.4 解析函数的Taylor级数展开
3.4.1 Taylor定理
3.4.2 解析函数展开成Taylor级数的方法
习题3.4
3.5 解析函数的Laurent级数展开
3.5.1 Laurent定理
3.5.2 解析函数展开成Laurent级数的方法
习题3.5
3.6 解析函数的零点和孤立奇点
3.6.1 解析函数的零点与零点的孤立性
3.6.2 解析函数的唯一性
3.6.3 孤立奇点与非孤立奇点
3.6.4 孤立奇点的分类
3.6.5 作为孤立奇点的无穷远点
习题3.6
第四章 留数及其应用
4.1 留数定理
4.2 无穷远点的留数
习题4.2
4.3 利用留数定理计算实函数的积分
4.3.1 三角有理函数
4.3.2 计算∫∞−∞P(x)/Q(x)dx型的有理函数积分
4.3.3 计算∫∞−∞P(x)/Q(x)eiλxdx型的积分
4.4 积分路径上有奇点的情况
习题4.4
4.5 涉及多值函数的复变积分
4.5.1∫∞0xs−1Q(x)dx型积分
4.5.2∫∞0f(x)lnxdx型积分
习题4.5
*4.6 辐角原理和Rouché定理
习题4.6
第五章 解析延拓
5.1 解析延拓的概念
5.2 用Taylor级数进行解析延拓
5.3 用函数关系进行解析延拓
5.4 Γ函数的性质
5.5 B函数
习题5
第六章 常微分方程
6.1 可分离变量的方程
6.2 可化为分离变量方程的一阶方程
习题6.2
6.3 一阶线性方程
习题6.3
6.4 全微分方程
习题6.4
6.5 二阶线性方程
6.5.1 二阶线性齐次常微分方程通解的结构
6.5.2 常数变易法
6.5.3 二阶常系数线性齐次常微分方程的特征根解法
6.5.4 特殊非齐次项的二阶常系数线性非齐次常微分方程的求解
*6.6 高阶线性齐次常微分方程的n个线性无关解
习题6.6
第七章 二阶线性常微分方程的幂级数解法
7.1 方程的常点与奇点
7.2 常点邻域内的幂级数解法
7.3 正则奇点邻域内的幂级数解法
*7.4 非正则奇点邻域内的幂级数解法
习题7
第八章 积分变换
8.1 Fourier变换
8.1.1 Fourier级数
8.1.2 复数形式的Fourier级数
8.1.3 Fourier积分
8.1.4 Fourier变换
8.1.5 Fourier变换的性质
习题8.1
8.2 Laplace变换
8.2.1 Laplace变换的定义
8.2.2 常用函数的Laplace变换
8.2.3 Laplace变换的性质
8.2.4 Laplace反演展开定理
习题8.2
第九章 广义函数简介
9.1 δ函数的引入
*9.2 基本函数空间
9.2.1 广义函数的概念
9.2.2 常用基本函数空间
9.2.3 D′(Rn), S′(Rn), C′(Rn)广义函数
*9.3 广义函数的运算
9.3.1 广义函数的极限
9.3.2 广义函数的导数
*9.4 广义函数的Fourier变换
9.5 一维δ函数的常用性质
习题9
第十章 偏微分方程及其定解条件
*10.1 二阶线性偏微分方程的分类与化简
10.1.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程
10.1.2 特征方程与方程的分类
10.1.3 三类方程的标准形式
习题10.1
10.2 波动问题
10.2.1 弦的横振动方程
10.2.2 杆的纵振动方程
10.2.3 定解条件
10.3 输运问题
10.3.1 一维热传导方程
10.3.2 三维热传导方程
10.3.3 定解条件
10.4 稳定场问题
10.4.1 静电场方程
10.4.2 定解条件
10.5 定解问题的适定性
习题10.5
第十一章 分离变量法
11.1 两端固定弦的自由振动问题
11.1.1 分离变量法求解
11.1.2 级数解的物理意义
11.2 一维热传导问题
11.3 二维热传导问题
11.4 二维Laplace方程的定解问题
习题11.4
11.5 非齐次方程的齐次化
11.5.1 齐次化方法一: Duhamel原理
11.5.2 波动方程的Duhamel原理
11.5.3 热传导方程的Duhamel原理
11.5.4 齐次化方法二: 辅助函数法
11.5.5 齐次化方法三: 本征函数展开法
11.6 非齐次边界条件的齐次化
习题11.6
第十二章 积分变换法
12.1 Fourier变换法
12.2 半无界问题: Fourier正弦变换和余弦变换
12.3 Laplace变换法
习题12
第十三章 Green函数法
13.1 Green公式
13.2 基本解
13.3 位势方程基本解的求法
13.4 位势方程边值问题的Green函数法
13.4.1 Green函数
13.4.2 Poisson方程边值问题之解的Green函数表示
13.5 位势方程Green函数的求法
13.5.1 本征函数展开法
13.5.2 镜像法
13.6 热传导方程的Green函数法
13.6.1 一维热传导方程在无界区域的Green函数
13.6.2 一维热传导方程在有界区域的Green函数
13.6.3 Green函数的求解
13.7 波动方程的Green函数法
13.7.1 无界空间的Green函数
13.7.2 有界空间的Green函数
13.7.3 Green函数的求解
习题13
第十四章 行波法
14.1 一维无界弦的自由振动问题
14.1.1 d’Alembert公式
14.1.2 物理意义
14.2 波的依赖区域、决定区域和影响区域
14.3 一维无界弦的受迫振动问题
14.4 三维无界空间的自由振动问题
14.4.1 Poisson公式
14.4.2 物理意义
习题14
第十五章 正交曲线坐标系中的分离变量法
15.1 正交曲线坐标系
15.2 圆形区域的分离变量法
15.3 Helmholtz方程在柱坐标系下的分离变量法
15.4 Helmholtz方程在球坐标系下的分离变量法
习题15
第十六章 变分法初步
16.1 泛函的极值
16.1.1 最速降线问题
16.1.2 测地线问题
16.1.3 等周问题
16.2 变分及其性质
16.3 Euler方程
16.4 依赖于多个函数的泛函
*16.5 依赖于高阶导数的泛函
*16.6 依赖于含多个自变量函数的泛函
16.6.1 两个自变量的二元函数
16.6.2 n个自变量的多元函数
*16.7 条件极值的变分问题
16.7.1 不含导数型的约束
16.7.2 含导数型的约束
16.7.3 一般等周问题
习题16
参考文献
名词索引
前辅文
第一章 复变函数与解析函数
1.1 复数及其运算
1.1.1 复数的概念
1.1.2 复数的表示
1.1.3 复数的代数运算
1.1.4 复数序列的极限
习题1.1
1.2 复变函数的极限与连续性
1.2.1 区域
1.2.2 复变函数的极限
1.2.3 复变函数的连续性
习题1.2
1.3 复变函数的导数
1.3.1 导数与微分
1.3.2 复变函数可导的条件
1.3.3 复变函数导数的几何意义
习题1.3
1.4 解析函数
1.4.1 解析函数的定义
1.4.2 函数解析的条件
1.4.3 解析函数的共轭性、调和性和保角性
习题1.4
1.5 初等复变函数
1.5.1 指数函数
1.5.2 对数函数
1.5.3 幂函数
1.5.4 三角函数
1.5.5 双曲函数
1.5.6 反三角函数
1.5.7 反双曲函数
习题1.5
1.6 多值函数
1.6.1 根式函数√z−a
1.6.2 无穷远点∞作为支点
1.6.3 对数函数w=Lnz
习题1.6
*1.7 分式线性变换
1.7.1 解析映射的几何特征
1.7.2 典型的分式线性变换
1.7.3 分式线性变换的确定
1.7.4 典型区域的分式线性变换
习题1.7
*1.8 解析函数在平面向量场中的应用
1.8.1 解析函数与平面向量场
1.8.2 复势在流体力学中的应用
1.8.3 复势在静电场中的应用
1.8.4 复势在热流场中的应用
1.8.5 总结
习题1.8
第二章 复变函数的积分
2.1 复变函数积分的定义与性质
2.1.1 复变函数积分的定义
2.1.2 复变函数积分的性质
2.2 复变函数积分的计算
2.2.1 化成两个实变量积分计算
2.2.2 化成曲线参数的积分
2.2.3 Jordan引理
习题2.2
2.3 解析函数的Cauchy定理
2.3.1 单连通区域的Cauchy定理
*2.3.2 Cauchy定理的Goursat证明
2.3.3 原函数与定积分公式
2.3.4 多连通区域的Cauchy定理
2.3.5 小圆弧引理和大圆弧引理
习题2.3
2.4 解析函数的Cauchy积分公式
2.4.1 Cauchy积分公式
2.4.2 高阶导数公式
2.4.3 最大模原理
2.4.4 Cauchy型积分
2.4.5 含参量积分的解析性
习题2.4
2.5 Cauchy积分公式的应用
习题2.5
*2.6 Poisson公式
2.6.1 上半平面的Poisson公式
2.6.2 圆内区域的Poisson公式
习题2.6
第三章 复变函数的级数
3.1 复数项级数
习题3.1
3.2 复变函数项级数
3.2.1 复变函数项级数的收敛性
3.2.2 绝对收敛级数的判别法和性质
3.2.3 一致收敛级数的判别法和性质
习题3.2
3.3 幂级数
3.3.1 Abel定理
3.3.2 幂级数在收敛圆内的性质
3.3.3 幂级数收敛半径的计算
习题3.3
3.4 解析函数的Taylor级数展开
3.4.1 Taylor定理
3.4.2 解析函数展开成Taylor级数的方法
习题3.4
3.5 解析函数的Laurent级数展开
3.5.1 Laurent定理
3.5.2 解析函数展开成Laurent级数的方法
习题3.5
3.6 解析函数的零点和孤立奇点
3.6.1 解析函数的零点与零点的孤立性
3.6.2 解析函数的唯一性
3.6.3 孤立奇点与非孤立奇点
3.6.4 孤立奇点的分类
3.6.5 作为孤立奇点的无穷远点
习题3.6
第四章 留数及其应用
4.1 留数定理
4.2 无穷远点的留数
习题4.2
4.3 利用留数定理计算实函数的积分
4.3.1 三角有理函数
4.3.2 计算∫∞−∞P(x)/Q(x)dx型的有理函数积分
4.3.3 计算∫∞−∞P(x)/Q(x)eiλxdx型的积分
4.4 积分路径上有奇点的情况
习题4.4
4.5 涉及多值函数的复变积分
4.5.1∫∞0xs−1Q(x)dx型积分
4.5.2∫∞0f(x)lnxdx型积分
习题4.5
*4.6 辐角原理和Rouché定理
习题4.6
第五章 解析延拓
5.1 解析延拓的概念
5.2 用Taylor级数进行解析延拓
5.3 用函数关系进行解析延拓
5.4 Γ函数的性质
5.5 B函数
习题5
第六章 常微分方程
6.1 可分离变量的方程
6.2 可化为分离变量方程的一阶方程
习题6.2
6.3 一阶线性方程
习题6.3
6.4 全微分方程
习题6.4
6.5 二阶线性方程
6.5.1 二阶线性齐次常微分方程通解的结构
6.5.2 常数变易法
6.5.3 二阶常系数线性齐次常微分方程的特征根解法
6.5.4 特殊非齐次项的二阶常系数线性非齐次常微分方程的求解
*6.6 高阶线性齐次常微分方程的n个线性无关解
习题6.6
第七章 二阶线性常微分方程的幂级数解法
7.1 方程的常点与奇点
7.2 常点邻域内的幂级数解法
7.3 正则奇点邻域内的幂级数解法
*7.4 非正则奇点邻域内的幂级数解法
习题7
第八章 积分变换
8.1 Fourier变换
8.1.1 Fourier级数
8.1.2 复数形式的Fourier级数
8.1.3 Fourier积分
8.1.4 Fourier变换
8.1.5 Fourier变换的性质
习题8.1
8.2 Laplace变换
8.2.1 Laplace变换的定义
8.2.2 常用函数的Laplace变换
8.2.3 Laplace变换的性质
8.2.4 Laplace反演展开定理
习题8.2
第九章 广义函数简介
9.1 δ函数的引入
*9.2 基本函数空间
9.2.1 广义函数的概念
9.2.2 常用基本函数空间
9.2.3 D′(Rn), S′(Rn), C′(Rn)广义函数
*9.3 广义函数的运算
9.3.1 广义函数的极限
9.3.2 广义函数的导数
*9.4 广义函数的Fourier变换
9.5 一维δ函数的常用性质
习题9
第十章 偏微分方程及其定解条件
*10.1 二阶线性偏微分方程的分类与化简
10.1.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程
10.1.2 特征方程与方程的分类
10.1.3 三类方程的标准形式
习题10.1
10.2 波动问题
10.2.1 弦的横振动方程
10.2.2 杆的纵振动方程
10.2.3 定解条件
10.3 输运问题
10.3.1 一维热传导方程
10.3.2 三维热传导方程
10.3.3 定解条件
10.4 稳定场问题
10.4.1 静电场方程
10.4.2 定解条件
10.5 定解问题的适定性
习题10.5
第十一章 分离变量法
11.1 两端固定弦的自由振动问题
11.1.1 分离变量法求解
11.1.2 级数解的物理意义
11.2 一维热传导问题
11.3 二维热传导问题
11.4 二维Laplace方程的定解问题
习题11.4
11.5 非齐次方程的齐次化
11.5.1 齐次化方法一: Duhamel原理
11.5.2 波动方程的Duhamel原理
11.5.3 热传导方程的Duhamel原理
11.5.4 齐次化方法二: 辅助函数法
11.5.5 齐次化方法三: 本征函数展开法
11.6 非齐次边界条件的齐次化
习题11.6
第十二章 积分变换法
12.1 Fourier变换法
12.2 半无界问题: Fourier正弦变换和余弦变换
12.3 Laplace变换法
习题12
第十三章 Green函数法
13.1 Green公式
13.2 基本解
13.3 位势方程基本解的求法
13.4 位势方程边值问题的Green函数法
13.4.1 Green函数
13.4.2 Poisson方程边值问题之解的Green函数表示
13.5 位势方程Green函数的求法
13.5.1 本征函数展开法
13.5.2 镜像法
13.6 热传导方程的Green函数法
13.6.1 一维热传导方程在无界区域的Green函数
13.6.2 一维热传导方程在有界区域的Green函数
13.6.3 Green函数的求解
13.7 波动方程的Green函数法
13.7.1 无界空间的Green函数
13.7.2 有界空间的Green函数
13.7.3 Green函数的求解
习题13
第十四章 行波法
14.1 一维无界弦的自由振动问题
14.1.1 d’Alembert公式
14.1.2 物理意义
14.2 波的依赖区域、决定区域和影响区域
14.3 一维无界弦的受迫振动问题
14.4 三维无界空间的自由振动问题
14.4.1 Poisson公式
14.4.2 物理意义
习题14
第十五章 正交曲线坐标系中的分离变量法
15.1 正交曲线坐标系
15.2 圆形区域的分离变量法
15.3 Helmholtz方程在柱坐标系下的分离变量法
15.4 Helmholtz方程在球坐标系下的分离变量法
习题15
第十六章 变分法初步
16.1 泛函的极值
16.1.1 最速降线问题
16.1.2 测地线问题
16.1.3 等周问题
16.2 变分及其性质
16.3 Euler方程
16.4 依赖于多个函数的泛函
*16.5 依赖于高阶导数的泛函
*16.6 依赖于含多个自变量函数的泛函
16.6.1 两个自变量的二元函数
16.6.2 n个自变量的多元函数
*16.7 条件极值的变分问题
16.7.1 不含导数型的约束
16.7.2 含导数型的约束
16.7.3 一般等周问题
习题16
参考文献
名词索引
前辅文
第一章 复变函数与解析函数
1.1 复数及其运算
1.1.1 复数的概念
1.1.2 复数的表示
1.1.3 复数的代数运算
1.1.4 复数序列的极限
习题1.1
1.2 复变函数的极限与连续性
1.2.1 区域
1.2.2 复变函数的极限
1.2.3 复变函数的连续性
习题1.2
1.3 复变函数的导数
1.3.1 导数与微分
1.3.2 复变函数可导的条件
1.3.3 复变函数导数的几何意义
习题1.3
1.4 解析函数
1.4.1 解析函数的定义
1.4.2 函数解析的条件
1.4.3 解析函数的共轭性、调和性和保角性
习题1.4
1.5 初等复变函数
1.5.1 指数函数
1.5.2 对数函数
1.5.3 幂函数
1.5.4 三角函数
1.5.5 双曲函数
1.5.6 反三角函数
1.5.7 反双曲函数
习题1.5
1.6 多值函数
1.6.1 根式函数√z−a
1.6.2 无穷远点∞作为支点
1.6.3 对数函数w=Lnz
习题1.6
*1.7 分式线性变换
1.7.1 解析映射的几何特征
1.7.2 典型的分式线性变换
1.7.3 分式线性变换的确定
1.7.4 典型区域的分式线性变换
习题1.7
*1.8 解析函数在平面向量场中的应用
1.8.1 解析函数与平面向量场
1.8.2 复势在流体力学中的应用
1.8.3 复势在静电场中的应用
1.8.4 复势在热流场中的应用
1.8.5 总结
习题1.8
第二章 复变函数的积分
2.1 复变函数积分的定义与性质
2.1.1 复变函数积分的定义
2.1.2 复变函数积分的性质
2.2 复变函数积分的计算
2.2.1 化成两个实变量积分计算
2.2.2 化成曲线参数的积分
2.2.3 Jordan引理
习题2.2
2.3 解析函数的Cauchy定理
2.3.1 单连通区域的Cauchy定理
*2.3.2 Cauchy定理的Goursat证明
2.3.3 原函数与定积分公式
2.3.4 多连通区域的Cauchy定理
2.3.5 小圆弧引理和大圆弧引理
习题2.3
2.4 解析函数的Cauchy积分公式
2.4.1 Cauchy积分公式
2.4.2 高阶导数公式
2.4.3 最大模原理
2.4.4 Cauchy型积分
2.4.5 含参量积分的解析性
习题2.4
2.5 Cauchy积分公式的应用
习题2.5
*2.6 Poisson公式
2.6.1 上半平面的Poisson公式
2.6.2 圆内区域的Poisson公式
习题2.6
第三章 复变函数的级数
3.1 复数项级数
习题3.1
3.2 复变函数项级数
3.2.1 复变函数项级数的收敛性
3.2.2 绝对收敛级数的判别法和性质
3.2.3 一致收敛级数的判别法和性质
习题3.2
3.3 幂级数
3.3.1 Abel定理
3.3.2 幂级数在收敛圆内的性质
3.3.3 幂级数收敛半径的计算
习题3.3
3.4 解析函数的Taylor级数展开
3.4.1 Taylor定理
3.4.2 解析函数展开成Taylor级数的方法
习题3.4
3.5 解析函数的Laurent级数展开
3.5.1 Laurent定理
3.5.2 解析函数展开成Laurent级数的方法
习题3.5
3.6 解析函数的零点和孤立奇点
3.6.1 解析函数的零点与零点的孤立性
3.6.2 解析函数的唯一性
3.6.3 孤立奇点与非孤立奇点
3.6.4 孤立奇点的分类
3.6.5 作为孤立奇点的无穷远点
习题3.6
第四章 留数及其应用
4.1 留数定理
4.2 无穷远点的留数
习题4.2
4.3 利用留数定理计算实函数的积分
4.3.1 三角有理函数
4.3.2 计算∫∞−∞P(x)/Q(x)dx型的有理函数积分
4.3.3 计算∫∞−∞P(x)/Q(x)eiλxdx型的积分
4.4 积分路径上有奇点的情况
习题4.4
4.5 涉及多值函数的复变积分
4.5.1∫∞0xs−1Q(x)dx型积分
4.5.2∫∞0f(x)lnxdx型积分
习题4.5
*4.6 辐角原理和Rouché定理
习题4.6
第五章 解析延拓
5.1 解析延拓的概念
5.2 用Taylor级数进行解析延拓
5.3 用函数关系进行解析延拓
5.4 Γ函数的性质
5.5 B函数
习题5
第六章 常微分方程
6.1 可分离变量的方程
6.2 可化为分离变量方程的一阶方程
习题6.2
6.3 一阶线性方程
习题6.3
6.4 全微分方程
习题6.4
6.5 二阶线性方程
6.5.1 二阶线性齐次常微分方程通解的结构
6.5.2 常数变易法
6.5.3 二阶常系数线性齐次常微分方程的特征根解法
6.5.4 特殊非齐次项的二阶常系数线性非齐次常微分方程的求解
*6.6 高阶线性齐次常微分方程的n个线性无关解
习题6.6
第七章 二阶线性常微分方程的幂级数解法
7.1 方程的常点与奇点
7.2 常点邻域内的幂级数解法
7.3 正则奇点邻域内的幂级数解法
*7.4 非正则奇点邻域内的幂级数解法
习题7
第八章 积分变换
8.1 Fourier变换
8.1.1 Fourier级数
8.1.2 复数形式的Fourier级数
8.1.3 Fourier积分
8.1.4 Fourier变换
8.1.5 Fourier变换的性质
习题8.1
8.2 Laplace变换
8.2.1 Laplace变换的定义
8.2.2 常用函数的Laplace变换
8.2.3 Laplace变换的性质
8.2.4 Laplace反演展开定理
习题8.2
第九章 广义函数简介
9.1 δ函数的引入
*9.2 基本函数空间
9.2.1 广义函数的概念
9.2.2 常用基本函数空间
9.2.3 D′(Rn), S′(Rn), C′(Rn)广义函数
*9.3 广义函数的运算
9.3.1 广义函数的极限
9.3.2 广义函数的导数
*9.4 广义函数的Fourier变换
9.5 一维δ函数的常用性质
习题9
第十章 偏微分方程及其定解条件
*10.1 二阶线性偏微分方程的分类与化简
10.1.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程
10.1.2 特征方程与方程的分类
10.1.3 三类方程的标准形式
习题10.1
10.2 波动问题
10.2.1 弦的横振动方程
10.2.2 杆的纵振动方程
10.2.3 定解条件
10.3 输运问题
10.3.1 一维热传导方程
10.3.2 三维热传导方程
10.3.3 定解条件
10.4 稳定场问题
10.4.1 静电场方程
10.4.2 定解条件
10.5 定解问题的适定性
习题10.5
第十一章 分离变量法
11.1 两端固定弦的自由振动问题
11.1.1 分离变量法求解
11.1.2 级数解的物理意义
11.2 一维热传导问题
11.3 二维热传导问题
11.4 二维Laplace方程的定解问题
习题11.4
11.5 非齐次方程的齐次化
11.5.1 齐次化方法一: Duhamel原理
11.5.2 波动方程的Duhamel原理
11.5.3 热传导方程的Duhamel原理
11.5.4 齐次化方法二: 辅助函数法
11.5.5 齐次化方法三: 本征函数展开法
11.6 非齐次边界条件的齐次化
习题11.6
第十二章 积分变换法
12.1 Fourier变换法
12.2 半无界问题: Fourier正弦变换和余弦变换
12.3 Laplace变换法
习题12
第十三章 Green函数法
13.1 Green公式
13.2 基本解
13.3 位势方程基本解的求法
13.4 位势方程边值问题的Green函数法
13.4.1 Green函数
13.4.2 Poisson方程边值问题之解的Green函数表示
13.5 位势方程Green函数的求法
13.5.1 本征函数展开法
13.5.2 镜像法
13.6 热传导方程的Green函数法
13.6.1 一维热传导方程在无界区域的Green函数
13.6.2 一维热传导方程在有界区域的Green函数
13.6.3 Green函数的求解
13.7 波动方程的Green函数法
13.7.1 无界空间的Green函数
13.7.2 有界空间的Green函数
13.7.3 Green函数的求解
习题13
第十四章 行波法
14.1 一维无界弦的自由振动问题
14.1.1 d’Alembert公式
14.1.2 物理意义
14.2 波的依赖区域、决定区域和影响区域
14.3 一维无界弦的受迫振动问题
14.4 三维无界空间的自由振动问题
14.4.1 Poisson公式
14.4.2 物理意义
习题14
第十五章 正交曲线坐标系中的分离变量法
15.1 正交曲线坐标系
15.2 圆形区域的分离变量法
15.3 Helmholtz方程在柱坐标系下的分离变量法
15.4 Helmholtz方程在球坐标系下的分离变量法
习题15
第十六章 变分法初步
16.1 泛函的极值
16.1.1 最速降线问题
16.1.2 测地线问题
16.1.3 等周问题
16.2 变分及其性质
16.3 Euler方程
16.4 依赖于多个函数的泛函
*16.5 依赖于高阶导数的泛函
*16.6 依赖于含多个自变量函数的泛函
16.6.1 两个自变量的二元函数
16.6.2 n个自变量的多元函数
*16.7 条件极值的变分问题
16.7.1 不含导数型的约束
16.7.2 含导数型的约束
16.7.3 一般等周问题
习题16
参考文献
名词索引
