- 高等教育出版社
- 9787040642742
- 3版
- 16开
内容简介
本书是在《数学物理方法》（第二版）的基础上结合当前教学改革的实际情况修订而成的。此次修订尽量保持了原书的基本结构和特色，补充了部分具有实用性以及在国内同类教材中较少讨论的内容。例如，通过不同的拉普拉斯像函数，理解比较求解有限长弦振动的驻波法和行波法（含端点反射），并借此介绍吉布斯现象；分别从数学和物理学角度，分析有限区域波动方程的含时格林函数中一个复变函数积分的路径选取，并以此体会狄拉克-普莱姆利关系的应用；比较函数按不同完备本征函数进行展开的优劣，以体验实际应用中本征函数的选取；讨论勒让德多项式和贝塞尔函数分别基于正反递推数值计算方法，以及勒让德多项式在数值积分中的应用等内容。鉴于篇幅限制，此次修订删去原书第二版的最后一章“积分方程简介和非线性偏微分方程初步”，同时增加了一定数量的例题和习题。这进一步提高了本书的实用性，并能满足多层次读者学习的需求。
本书可作为普通高等学校本科物理学类专业数学物理方法课程的教材，也可供相关专业的研究生、教师和科技人员参考。
目录
目录
前辅文
上篇 复变函数论
第一章 复变函数和解析函数
§1.1 复数的基本概念
1.1.1 复数及其代数运算
1.1.2 无穷远点
§1.2 复变函数及其导数 柯西-黎曼条件
1.2.1 复变函数及其导数
1.2.2 柯西-黎曼条件
§1.3 解析函数
§1.4 多值函数
1.4.1 多值函数及其枝点
1.4.2 黎曼面
§1.5 解析函数的几何性质 保角变换
§1.6 解析函数的物理解释 复势
1.6.1 平面静电场的复势
*1.6.2 保角变换将平面的复势变为另一平面的复势
习题
第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式
§2.1 复变函数积分及其性质
2.1.1 复变函数积分
2.1.2 复变函数积分的性质
§2.2 几个引理
§2.3 柯西定理
§2.4 不定积分
§2.5 柯西公式及其几个推论
2.5.1 柯西公式
2.5.2 柯西公式的推论
*§2.6 泊松积分公式
*2.6.1 半平面区域的情况
*2.6.2 圆形区域的情况
习题
第三章 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数 孤立奇点的分类
§3.1 复变函数级数和解析函数级数
§3.2 幂级数的收敛性
3.2.1 幂级数的收敛性
3.2.2 幂级数的收敛圆
§3.3 解析函数的泰勒级数展开
3.3.1 解析函数的泰勒级数
3.3.2 多值函数的泰勒级数
§3.4 解析函数的洛朗级数展开
§3.5 泰勒级数和洛朗级数展开的几种常用方法
§3.6 孤立奇点的分类和特性
3.6.1 解析函数的零点及其孤立性
3.6.2 孤立奇点的分类和特性
习题
第四章 解析延拓Γ函数和B函数
§4.1 解析函数的唯一性
4.1.1 解析延拓
4.1.2 解析函数的唯一性
§4.2 用泰勒级数进行解析延拓
§4.3 利用函数关系式进行解析延拓 Γ函数
§4.4 B函数
§4.5 黎曼ζ函数
习题
第五章 定积分的计算
§5.1 留数定理和留数的求法
5.1.1 留数定理
5.1.2 留数的求法
§5.2 三角函数有理分式的积分：∫02π R(cosx, sinx)dx
§5.3 无穷积分：∫-∞∞f(x)d和∫-∞∞f(x)eimxdx
5.3.1∫-∞∞f(x)dx
5.3.2∫-∞∞f(x)eimxdx
§5.4 积分主值
5.4.1 积分主值和希尔伯特变换
*5.4.2 积分∫abf(x)/x-x0±iεdx（a §5.5 多值函数积分的两种类型
5.5.1∫0∞xα-1Q(x)d型的积分（α是非整数）
5.5.2∫0∞lnnQ(x)dx（n=0，1，2，……）
§5.6 几个特殊积分
5.6.1 菲涅耳积分
*5.6.2∫1-1 dx/(1+x2)√1-x2
5.6.3∫-∞∞sinnx/xndx（n为正整数）
5.6.4 应用留数定理计算无穷级数的和
习题
第六章 拉普拉斯变换
§6.1 拉普拉斯变换的定义和基本性质
6.1.1 拉普拉斯变换的定义
6.1.2 拉普拉斯变换的基本性质
§6.2 反演问题 梅林反演公式
6.2.1 反演问题
6.2.2 梅林反演公式和展开定理
§6.3 求原函数和像函数的几种常用方法
§6.4 线性常微分方程的初值问题
§6.5 点源和瞬时源 δ函数
6.5.1 δ函数的定义
6.5.2 δ函数及其导数的性质
6.5.3 δ函数的一个应用（持续作用的力分解为瞬时力）
*6.5.4 另一个角度理解δ函数
*§6.6 Z变换和差分方程的求解简介
*6.6.1 Z变换及其与拉普拉斯变换的关系
*6.6.2 线性差分方程
*6.6.3 用Z变换求解二阶常系数线性差分方程
习题
第七章 傅里叶变换和色散关系
§7.1 傅里叶级数
7.1.1 傅里叶级数
7.1.2 复数形式的傅里叶级数
§7.2 傅里叶变换
7.2.1 傅里叶积分和傅里叶变换
7.2.2 傅里叶变换的基本性质
7.2.3 傅里叶变换与不确定关系
7.2.4 傅里叶变换与拉普拉斯变换的比较
§7.3 多重傅里叶变换
*§7.4 色散关系
*7.4.1 色散关系
*7.4.2 物理应用实例：色散关系的应用
*7.4.3 物理应用实例：色散与群速度大于光速
*§7.5 小波变换的基本思想
*7.5.1 函数局域化概念和窗函数
*7.5.2 伽博变换
*7.5.3 小波变换
习题
第八章 线性常微分方程的级数解法和特殊函数
§8.1 常点邻域方程的级数解 勒让德方程
8.1.1 常点邻域方程的级数解
8.1.2 勒让德方程
§8.2 正则奇点邻域方程的级数解 柱贝塞尔方程
8.2.1 正则奇点邻域方程的级数解
8.2.2 柱贝塞尔方程的第一个解
8.2.3 寻求柱贝塞尔方程的第二个（线性无关）解
8.2.4 再寻柱贝塞尔方程的第二个（线性无关）解
*§8.3 高斯方程和库默尔方程
*8.3.1 高斯方程和超几何函数
*8.3.2 库默尔方程和合流超几何函数
§8.4 非齐次方程的通解
8.4.1 解的解析延拓
8.4.2 非齐次方程的通解公式
习题
下篇 数学物理方程
第九章 数学物理方程的定解问题
§9.1 数学物理方程的导出
9.1.1 弦的横振动方程
9.1.2 杆的纵振动方程
9.1.3 薄膜的振动方程
9.1.4 热传导方程和稳定温度场方程，扩散方程
9.1.5 静电场方程
§9.2 二阶线性偏微分方程的分类和简化
9.2.1 二阶方程的分类
9.2.2 二阶方程的标准形式
9.2.3 二阶常系数方程的进一步简化
9.2.4 多自变量二阶偏微分方程的分类
§9.3 定解问题
§9.4 线性方程的叠加原理
§9.5 定解问题适定性的一些讨论
习题
第十章 行波法和分离变量法 本征值问题
§10.1 一维无界区域的自由振动问题 达朗贝尔公式
10.1.1 行波法和达朗贝尔公式
10.1.2 解的物理解释
§10.2 一维半无界区域的自由振动问题 初始条件的延拓
10.2.1 齐次边界条件的情况
10.2.2 非齐次边界条件的情况
10.2.3 定解问题：从半无界区域到有界区域
§10.3 一维有界区域自由振动问题的驻波解 分离变量法
10.3.1 分离变量法
10.3.2 分离变量法的几点说明和主要步骤
§10.4 非齐次边界条件的齐次化
§10.5 本征函数法
§10.6 施图姆-刘维尔型方程的本征值问题
10.6.1 本征值问题的一般提法
10.6.2 本征值问题的一般性质
*10.6.3 高维情况下的本征值问题
*§10.7 有限项近似
习题
第十一章 积分变换法
§11.1 无界空间的有源导热问题 傅里叶变换法
11.1.1 一维无源导热问题和基本解
11.1.2 一维有源导热问题
11.1.3 三维导热问题
§11.2 三维无界空间的静电场问题
§11.3 三维无界空间的受迫振动 泊松公式和推迟势公式
11.3.1 自由振动问题
11.3.2 受迫振动问题
§11.4 拉普拉斯变换法
习题
第十二章 球坐标系下的分离变量法 勒让德多项式和球谐函数
§12.1 正交曲线坐标系 平面圆形区域的定解问题
12.1.1 正交曲线坐标系和δ函数表达式
12.1.2 场量的梯度、散度、旋度和拉普拉斯算符
12.1.3 圆形区域拉普拉斯方程的定解问题
§12.2 球坐标系下的分离变量法
12.2.1 拉普拉斯方程
12.2.2 稳恒振动问题
§12.3 轴对称问题 勒让德多项式
12.3.1 轴对称问题和勒让德多项式
12.3.2 勒让德多项式的常用性质
§12.4 非轴对称问题 球谐函数
12.4.1 连带勒让德函数
12.4.2 球谐函数
*§12.5 勒让德函数的补充讨论
习题
第十三章 柱坐标系下的分离变量法 贝塞尔函数
§13.1 柱坐标系下的分离变量法
§13.2 贝塞尔函数
13.2.1 贝塞尔函数
13.2.2 本征值问题
*13.2.3 整数阶贝塞尔函数的数值计算
§13.3 虚宗量贝塞尔函数
§13.4 球贝塞尔函数
13.4.1 球贝塞尔函数
13.4.2 本征值问题
§13.5 最速下降法 贝塞尔函数的渐近式
*13.5.1 函数的渐近表达式和斯特令公式
*13.5.2 最速下降法
13.5.3 非整数阶贝塞尔函数的渐近式
*§13.6 非整数阶贝塞尔函数的积分表示
*13.6.1 Γ函数的积分表示
*13.6.2 非整数阶贝塞尔函数的积分表示
§13.7 可以化为贝塞尔方程的一类方程 艾里方程的有限解
习题
第十四章 非齐次方程的定解问题和格林函数法
§14.1 三类边界条件的定解问题的解与格林函数
14.1.1 无界空间的定解问题与格林函数，第二格林公式
14.1.2 形式解
14.1.3 边界条件与格林函数
14.1.4 格林函数法的物理意义
§14.2 格林函数的一般性质
§14.3 特殊区域泊松方程狄利克雷问题的格林函数 镜像法
14.3.1 半无界空间的情况
14.3.2 圆内区域的情况
14.3.3 球内区域的情况
§14.4 格林函数的一般求法
14.4.1 用本征函数族展开
14.4.2 一维空间格林函数的有限形式
*14.4.3 弗雷德霍姆择一定理和广义格林函数
§14.5 无界空间的稳恒振动问题
14.5.1 特殊球坐标系下格林函数的有限形式
14.5.2 特殊柱坐标系下格林函数的有限形式
14.5.3 一般球坐标系下格林函数的级数形式
14.5.4 一般柱坐标系下格林函数的级数形式
14.5.5 平面波用球面波展开
14.5.6 平面波用柱面波展开
*§14.6 受迫振动问题与含时格林函数
*14.6.1 受迫振动问题的解与含时格林函数
*14.6.2 三维无界空间的含时格林函数
*14.6.3 二维无界空间的含时格林函数
*14.6.4 一维无界区间的含时格林函数
*14.6.5 有界空间的含时格林函数
习题
第十五章 变分法
§15.1 变分问题 欧拉-拉格朗日方程
15.1.1 变分问题和欧拉-拉格朗日方程
15.1.2 E–L方程的几种推广情况
§15.2 带约束条件的变分问题
15.2.1 约束条件是J[y]=C（常数）的变分问题
15.2.2 测地线问题
*§15.3 端点值可变情况下的变分问题
§15.4 变分问题与微分方程的求解
15.4.1 与本征值问题的联系
15.4.2 与定解问题的联系
15.4.3 瑞利–里兹方法
习题
附录
附录 A希尔伯特空间简介
§A.1 线性空间
§A.2 内积空间
§A.3 希尔伯特空间
部分习题参考答案
主要参考书目
外国人名英汉对照表
索引
前辅文
上篇 复变函数论
第一章 复变函数和解析函数
§1.1 复数的基本概念
1.1.1 复数及其代数运算
1.1.2 无穷远点
§1.2 复变函数及其导数 柯西-黎曼条件
1.2.1 复变函数及其导数
1.2.2 柯西-黎曼条件
§1.3 解析函数
§1.4 多值函数
1.4.1 多值函数及其枝点
1.4.2 黎曼面
§1.5 解析函数的几何性质 保角变换
§1.6 解析函数的物理解释 复势
1.6.1 平面静电场的复势
*1.6.2 保角变换将平面的复势变为另一平面的复势
习题
第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式
§2.1 复变函数积分及其性质
2.1.1 复变函数积分
2.1.2 复变函数积分的性质
§2.2 几个引理
§2.3 柯西定理
§2.4 不定积分
§2.5 柯西公式及其几个推论
2.5.1 柯西公式
2.5.2 柯西公式的推论
*§2.6 泊松积分公式
*2.6.1 半平面区域的情况
*2.6.2 圆形区域的情况
习题
第三章 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数 孤立奇点的分类
§3.1 复变函数级数和解析函数级数
§3.2 幂级数的收敛性
3.2.1 幂级数的收敛性
3.2.2 幂级数的收敛圆
§3.3 解析函数的泰勒级数展开
3.3.1 解析函数的泰勒级数
3.3.2 多值函数的泰勒级数
§3.4 解析函数的洛朗级数展开
§3.5 泰勒级数和洛朗级数展开的几种常用方法
§3.6 孤立奇点的分类和特性
3.6.1 解析函数的零点及其孤立性
3.6.2 孤立奇点的分类和特性
习题
第四章 解析延拓Γ函数和B函数
§4.1 解析函数的唯一性
4.1.1 解析延拓
4.1.2 解析函数的唯一性
§4.2 用泰勒级数进行解析延拓
§4.3 利用函数关系式进行解析延拓 Γ函数
§4.4 B函数
§4.5 黎曼ζ函数
习题
第五章 定积分的计算
§5.1 留数定理和留数的求法
5.1.1 留数定理
5.1.2 留数的求法
§5.2 三角函数有理分式的积分：∫02π R(cosx, sinx)dx
§5.3 无穷积分：∫-∞∞f(x)d和∫-∞∞f(x)eimxdx
5.3.1∫-∞∞f(x)dx
5.3.2∫-∞∞f(x)eimxdx
§5.4 积分主值
5.4.1 积分主值和希尔伯特变换
*5.4.2 积分∫abf(x)/x-x0±iεdx（a §5.5 多值函数积分的两种类型
5.5.1∫0∞xα-1Q(x)d型的积分（α是非整数）
5.5.2∫0∞lnnQ(x)dx（n=0，1，2，……）
§5.6 几个特殊积分
5.6.1 菲涅耳积分
*5.6.2∫1-1 dx/(1+x2)√1-x2
5.6.3∫-∞∞sinnx/xndx（n为正整数）
5.6.4 应用留数定理计算无穷级数的和
习题
第六章 拉普拉斯变换
§6.1 拉普拉斯变换的定义和基本性质
6.1.1 拉普拉斯变换的定义
6.1.2 拉普拉斯变换的基本性质
§6.2 反演问题 梅林反演公式
6.2.1 反演问题
6.2.2 梅林反演公式和展开定理
§6.3 求原函数和像函数的几种常用方法
§6.4 线性常微分方程的初值问题
§6.5 点源和瞬时源 δ函数
6.5.1 δ函数的定义
6.5.2 δ函数及其导数的性质
6.5.3 δ函数的一个应用（持续作用的力分解为瞬时力）
*6.5.4 另一个角度理解δ函数
*§6.6 Z变换和差分方程的求解简介
*6.6.1 Z变换及其与拉普拉斯变换的关系
*6.6.2 线性差分方程
*6.6.3 用Z变换求解二阶常系数线性差分方程
习题
第七章 傅里叶变换和色散关系
§7.1 傅里叶级数
7.1.1 傅里叶级数
7.1.2 复数形式的傅里叶级数
§7.2 傅里叶变换
7.2.1 傅里叶积分和傅里叶变换
7.2.2 傅里叶变换的基本性质
7.2.3 傅里叶变换与不确定关系
7.2.4 傅里叶变换与拉普拉斯变换的比较
§7.3 多重傅里叶变换
*§7.4 色散关系
*7.4.1 色散关系
*7.4.2 物理应用实例：色散关系的应用
*7.4.3 物理应用实例：色散与群速度大于光速
*§7.5 小波变换的基本思想
*7.5.1 函数局域化概念和窗函数
*7.5.2 伽博变换
*7.5.3 小波变换
习题
第八章 线性常微分方程的级数解法和特殊函数
§8.1 常点邻域方程的级数解 勒让德方程
8.1.1 常点邻域方程的级数解
8.1.2 勒让德方程
§8.2 正则奇点邻域方程的级数解 柱贝塞尔方程
8.2.1 正则奇点邻域方程的级数解
8.2.2 柱贝塞尔方程的第一个解
8.2.3 寻求柱贝塞尔方程的第二个（线性无关）解
8.2.4 再寻柱贝塞尔方程的第二个（线性无关）解
*§8.3 高斯方程和库默尔方程
*8.3.1 高斯方程和超几何函数
*8.3.2 库默尔方程和合流超几何函数
§8.4 非齐次方程的通解
8.4.1 解的解析延拓
8.4.2 非齐次方程的通解公式
习题
下篇 数学物理方程
第九章 数学物理方程的定解问题
§9.1 数学物理方程的导出
9.1.1 弦的横振动方程
9.1.2 杆的纵振动方程
9.1.3 薄膜的振动方程
9.1.4 热传导方程和稳定温度场方程，扩散方程
9.1.5 静电场方程
§9.2 二阶线性偏微分方程的分类和简化
9.2.1 二阶方程的分类
9.2.2 二阶方程的标准形式
9.2.3 二阶常系数方程的进一步简化
9.2.4 多自变量二阶偏微分方程的分类
§9.3 定解问题
§9.4 线性方程的叠加原理
§9.5 定解问题适定性的一些讨论
习题
第十章 行波法和分离变量法 本征值问题
§10.1 一维无界区域的自由振动问题 达朗贝尔公式
10.1.1 行波法和达朗贝尔公式
10.1.2 解的物理解释
§10.2 一维半无界区域的自由振动问题 初始条件的延拓
10.2.1 齐次边界条件的情况
10.2.2 非齐次边界条件的情况
10.2.3 定解问题：从半无界区域到有界区域
§10.3 一维有界区域自由振动问题的驻波解 分离变量法
10.3.1 分离变量法
10.3.2 分离变量法的几点说明和主要步骤
§10.4 非齐次边界条件的齐次化
§10.5 本征函数法
§10.6 施图姆-刘维尔型方程的本征值问题
10.6.1 本征值问题的一般提法
10.6.2 本征值问题的一般性质
*10.6.3 高维情况下的本征值问题
*§10.7 有限项近似
习题
第十一章 积分变换法
§11.1 无界空间的有源导热问题 傅里叶变换法
11.1.1 一维无源导热问题和基本解
11.1.2 一维有源导热问题
11.1.3 三维导热问题
§11.2 三维无界空间的静电场问题
§11.3 三维无界空间的受迫振动 泊松公式和推迟势公式
11.3.1 自由振动问题
11.3.2 受迫振动问题
§11.4 拉普拉斯变换法
习题
第十二章 球坐标系下的分离变量法 勒让德多项式和球谐函数
§12.1 正交曲线坐标系 平面圆形区域的定解问题
12.1.1 正交曲线坐标系和δ函数表达式
12.1.2 场量的梯度、散度、旋度和拉普拉斯算符
12.1.3 圆形区域拉普拉斯方程的定解问题
§12.2 球坐标系下的分离变量法
12.2.1 拉普拉斯方程
12.2.2 稳恒振动问题
§12.3 轴对称问题 勒让德多项式
12.3.1 轴对称问题和勒让德多项式
12.3.2 勒让德多项式的常用性质
§12.4 非轴对称问题 球谐函数
12.4.1 连带勒让德函数
12.4.2 球谐函数
*§12.5 勒让德函数的补充讨论
习题
第十三章 柱坐标系下的分离变量法 贝塞尔函数
§13.1 柱坐标系下的分离变量法
§13.2 贝塞尔函数
13.2.1 贝塞尔函数
13.2.2 本征值问题
*13.2.3 整数阶贝塞尔函数的数值计算
§13.3 虚宗量贝塞尔函数
§13.4 球贝塞尔函数
13.4.1 球贝塞尔函数
13.4.2 本征值问题
§13.5 最速下降法 贝塞尔函数的渐近式
*13.5.1 函数的渐近表达式和斯特令公式
*13.5.2 最速下降法
13.5.3 非整数阶贝塞尔函数的渐近式
*§13.6 非整数阶贝塞尔函数的积分表示
*13.6.1 Γ函数的积分表示
*13.6.2 非整数阶贝塞尔函数的积分表示
§13.7 可以化为贝塞尔方程的一类方程 艾里方程的有限解
习题
第十四章 非齐次方程的定解问题和格林函数法
§14.1 三类边界条件的定解问题的解与格林函数
14.1.1 无界空间的定解问题与格林函数，第二格林公式
14.1.2 形式解
14.1.3 边界条件与格林函数
14.1.4 格林函数法的物理意义
§14.2 格林函数的一般性质
§14.3 特殊区域泊松方程狄利克雷问题的格林函数 镜像法
14.3.1 半无界空间的情况
14.3.2 圆内区域的情况
14.3.3 球内区域的情况
§14.4 格林函数的一般求法
14.4.1 用本征函数族展开
14.4.2 一维空间格林函数的有限形式
*14.4.3 弗雷德霍姆择一定理和广义格林函数
§14.5 无界空间的稳恒振动问题
14.5.1 特殊球坐标系下格林函数的有限形式
14.5.2 特殊柱坐标系下格林函数的有限形式
14.5.3 一般球坐标系下格林函数的级数形式
14.5.4 一般柱坐标系下格林函数的级数形式
14.5.5 平面波用球面波展开
14.5.6 平面波用柱面波展开
*§14.6 受迫振动问题与含时格林函数
*14.6.1 受迫振动问题的解与含时格林函数
*14.6.2 三维无界空间的含时格林函数
*14.6.3 二维无界空间的含时格林函数
*14.6.4 一维无界区间的含时格林函数
*14.6.5 有界空间的含时格林函数
习题
第十五章 变分法
§15.1 变分问题 欧拉-拉格朗日方程
15.1.1 变分问题和欧拉-拉格朗日方程
15.1.2 E–L方程的几种推广情况
§15.2 带约束条件的变分问题
15.2.1 约束条件是J[y]=C（常数）的变分问题
15.2.2 测地线问题
*§15.3 端点值可变情况下的变分问题
§15.4 变分问题与微分方程的求解
15.4.1 与本征值问题的联系
15.4.2 与定解问题的联系
15.4.3 瑞利–里兹方法
习题
附录
附录 A希尔伯特空间简介
§A.1 线性空间
§A.2 内积空间
§A.3 希尔伯特空间
部分习题参考答案
主要参考书目
外国人名英汉对照表
索引
前辅文
上篇 复变函数论
第一章 复变函数和解析函数
§1.1 复数的基本概念
1.1.1 复数及其代数运算
1.1.2 无穷远点
§1.2 复变函数及其导数 柯西-黎曼条件
1.2.1 复变函数及其导数
1.2.2 柯西-黎曼条件
§1.3 解析函数
§1.4 多值函数
1.4.1 多值函数及其枝点
1.4.2 黎曼面
§1.5 解析函数的几何性质 保角变换
§1.6 解析函数的物理解释 复势
1.6.1 平面静电场的复势
*1.6.2 保角变换将平面的复势变为另一平面的复势
习题
第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式
§2.1 复变函数积分及其性质
2.1.1 复变函数积分
2.1.2 复变函数积分的性质
§2.2 几个引理
§2.3 柯西定理
§2.4 不定积分
§2.5 柯西公式及其几个推论
2.5.1 柯西公式
2.5.2 柯西公式的推论
*§2.6 泊松积分公式
*2.6.1 半平面区域的情况
*2.6.2 圆形区域的情况
习题
第三章 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数 孤立奇点的分类
§3.1 复变函数级数和解析函数级数
§3.2 幂级数的收敛性
3.2.1 幂级数的收敛性
3.2.2 幂级数的收敛圆
§3.3 解析函数的泰勒级数展开
3.3.1 解析函数的泰勒级数
3.3.2 多值函数的泰勒级数
§3.4 解析函数的洛朗级数展开
§3.5 泰勒级数和洛朗级数展开的几种常用方法
§3.6 孤立奇点的分类和特性
3.6.1 解析函数的零点及其孤立性
3.6.2 孤立奇点的分类和特性
习题
第四章 解析延拓Γ函数和B函数
§4.1 解析函数的唯一性
4.1.1 解析延拓
4.1.2 解析函数的唯一性
§4.2 用泰勒级数进行解析延拓
§4.3 利用函数关系式进行解析延拓 Γ函数
§4.4 B函数
§4.5 黎曼ζ函数
习题
第五章 定积分的计算
§5.1 留数定理和留数的求法
5.1.1 留数定理
5.1.2 留数的求法
§5.2 三角函数有理分式的积分：∫02π R(cosx, sinx)dx
§5.3 无穷积分：∫-∞∞f(x)d和∫-∞∞f(x)eimxdx
5.3.1∫-∞∞f(x)dx
5.3.2∫-∞∞f(x)eimxdx
§5.4 积分主值
5.4.1 积分主值和希尔伯特变换
*5.4.2 积分∫abf(x)/x-x0±iεdx（a
5.5.1∫0∞xα-1Q(x)d型的积分（α是非整数）
5.5.2∫0∞lnnQ(x)dx（n=0，1，2，……）
§5.6 几个特殊积分
5.6.1 菲涅耳积分
*5.6.2∫1-1 dx/(1+x2)√1-x2
5.6.3∫-∞∞sinnx/xndx（n为正整数）
5.6.4 应用留数定理计算无穷级数的和
习题
第六章 拉普拉斯变换
§6.1 拉普拉斯变换的定义和基本性质
6.1.1 拉普拉斯变换的定义
6.1.2 拉普拉斯变换的基本性质
§6.2 反演问题 梅林反演公式
6.2.1 反演问题
6.2.2 梅林反演公式和展开定理
§6.3 求原函数和像函数的几种常用方法
§6.4 线性常微分方程的初值问题
§6.5 点源和瞬时源 δ函数
6.5.1 δ函数的定义
6.5.2 δ函数及其导数的性质
6.5.3 δ函数的一个应用（持续作用的力分解为瞬时力）
*6.5.4 另一个角度理解δ函数
*§6.6 Z变换和差分方程的求解简介
*6.6.1 Z变换及其与拉普拉斯变换的关系
*6.6.2 线性差分方程
*6.6.3 用Z变换求解二阶常系数线性差分方程
习题
第七章 傅里叶变换和色散关系
§7.1 傅里叶级数
7.1.1 傅里叶级数
7.1.2 复数形式的傅里叶级数
§7.2 傅里叶变换
7.2.1 傅里叶积分和傅里叶变换
7.2.2 傅里叶变换的基本性质
7.2.3 傅里叶变换与不确定关系
7.2.4 傅里叶变换与拉普拉斯变换的比较
§7.3 多重傅里叶变换
*§7.4 色散关系
*7.4.1 色散关系
*7.4.2 物理应用实例：色散关系的应用
*7.4.3 物理应用实例：色散与群速度大于光速
*§7.5 小波变换的基本思想
*7.5.1 函数局域化概念和窗函数
*7.5.2 伽博变换
*7.5.3 小波变换
习题
第八章 线性常微分方程的级数解法和特殊函数
§8.1 常点邻域方程的级数解 勒让德方程
8.1.1 常点邻域方程的级数解
8.1.2 勒让德方程
§8.2 正则奇点邻域方程的级数解 柱贝塞尔方程
8.2.1 正则奇点邻域方程的级数解
8.2.2 柱贝塞尔方程的第一个解
8.2.3 寻求柱贝塞尔方程的第二个（线性无关）解
8.2.4 再寻柱贝塞尔方程的第二个（线性无关）解
*§8.3 高斯方程和库默尔方程
*8.3.1 高斯方程和超几何函数
*8.3.2 库默尔方程和合流超几何函数
§8.4 非齐次方程的通解
8.4.1 解的解析延拓
8.4.2 非齐次方程的通解公式
习题
下篇 数学物理方程
第九章 数学物理方程的定解问题
§9.1 数学物理方程的导出
9.1.1 弦的横振动方程
9.1.2 杆的纵振动方程
9.1.3 薄膜的振动方程
9.1.4 热传导方程和稳定温度场方程，扩散方程
9.1.5 静电场方程
§9.2 二阶线性偏微分方程的分类和简化
9.2.1 二阶方程的分类
9.2.2 二阶方程的标准形式
9.2.3 二阶常系数方程的进一步简化
9.2.4 多自变量二阶偏微分方程的分类
§9.3 定解问题
§9.4 线性方程的叠加原理
§9.5 定解问题适定性的一些讨论
习题
第十章 行波法和分离变量法 本征值问题
§10.1 一维无界区域的自由振动问题 达朗贝尔公式
10.1.1 行波法和达朗贝尔公式
10.1.2 解的物理解释
§10.2 一维半无界区域的自由振动问题 初始条件的延拓
10.2.1 齐次边界条件的情况
10.2.2 非齐次边界条件的情况
10.2.3 定解问题：从半无界区域到有界区域
§10.3 一维有界区域自由振动问题的驻波解 分离变量法
10.3.1 分离变量法
10.3.2 分离变量法的几点说明和主要步骤
§10.4 非齐次边界条件的齐次化
§10.5 本征函数法
§10.6 施图姆-刘维尔型方程的本征值问题
10.6.1 本征值问题的一般提法
10.6.2 本征值问题的一般性质
*10.6.3 高维情况下的本征值问题
*§10.7 有限项近似
习题
第十一章 积分变换法
§11.1 无界空间的有源导热问题 傅里叶变换法
11.1.1 一维无源导热问题和基本解
11.1.2 一维有源导热问题
11.1.3 三维导热问题
§11.2 三维无界空间的静电场问题
§11.3 三维无界空间的受迫振动 泊松公式和推迟势公式
11.3.1 自由振动问题
11.3.2 受迫振动问题
§11.4 拉普拉斯变换法
习题
第十二章 球坐标系下的分离变量法 勒让德多项式和球谐函数
§12.1 正交曲线坐标系 平面圆形区域的定解问题
12.1.1 正交曲线坐标系和δ函数表达式
12.1.2 场量的梯度、散度、旋度和拉普拉斯算符
12.1.3 圆形区域拉普拉斯方程的定解问题
§12.2 球坐标系下的分离变量法
12.2.1 拉普拉斯方程
12.2.2 稳恒振动问题
§12.3 轴对称问题 勒让德多项式
12.3.1 轴对称问题和勒让德多项式
12.3.2 勒让德多项式的常用性质
§12.4 非轴对称问题 球谐函数
12.4.1 连带勒让德函数
12.4.2 球谐函数
*§12.5 勒让德函数的补充讨论
习题
第十三章 柱坐标系下的分离变量法 贝塞尔函数
§13.1 柱坐标系下的分离变量法
§13.2 贝塞尔函数
13.2.1 贝塞尔函数
13.2.2 本征值问题
*13.2.3 整数阶贝塞尔函数的数值计算
§13.3 虚宗量贝塞尔函数
§13.4 球贝塞尔函数
13.4.1 球贝塞尔函数
13.4.2 本征值问题
§13.5 最速下降法 贝塞尔函数的渐近式
*13.5.1 函数的渐近表达式和斯特令公式
*13.5.2 最速下降法
13.5.3 非整数阶贝塞尔函数的渐近式
*§13.6 非整数阶贝塞尔函数的积分表示
*13.6.1 Γ函数的积分表示
*13.6.2 非整数阶贝塞尔函数的积分表示
§13.7 可以化为贝塞尔方程的一类方程 艾里方程的有限解
习题
第十四章 非齐次方程的定解问题和格林函数法
§14.1 三类边界条件的定解问题的解与格林函数
14.1.1 无界空间的定解问题与格林函数，第二格林公式
14.1.2 形式解
14.1.3 边界条件与格林函数
14.1.4 格林函数法的物理意义
§14.2 格林函数的一般性质
§14.3 特殊区域泊松方程狄利克雷问题的格林函数 镜像法
14.3.1 半无界空间的情况
14.3.2 圆内区域的情况
14.3.3 球内区域的情况
§14.4 格林函数的一般求法
14.4.1 用本征函数族展开
14.4.2 一维空间格林函数的有限形式
*14.4.3 弗雷德霍姆择一定理和广义格林函数
§14.5 无界空间的稳恒振动问题
14.5.1 特殊球坐标系下格林函数的有限形式
14.5.2 特殊柱坐标系下格林函数的有限形式
14.5.3 一般球坐标系下格林函数的级数形式
14.5.4 一般柱坐标系下格林函数的级数形式
14.5.5 平面波用球面波展开
14.5.6 平面波用柱面波展开
*§14.6 受迫振动问题与含时格林函数
*14.6.1 受迫振动问题的解与含时格林函数
*14.6.2 三维无界空间的含时格林函数
*14.6.3 二维无界空间的含时格林函数
*14.6.4 一维无界区间的含时格林函数
*14.6.5 有界空间的含时格林函数
习题
第十五章 变分法
§15.1 变分问题 欧拉-拉格朗日方程
15.1.1 变分问题和欧拉-拉格朗日方程
15.1.2 E–L方程的几种推广情况
§15.2 带约束条件的变分问题
15.2.1 约束条件是J[y]=C（常数）的变分问题
15.2.2 测地线问题
*§15.3 端点值可变情况下的变分问题
§15.4 变分问题与微分方程的求解
15.4.1 与本征值问题的联系
15.4.2 与定解问题的联系
15.4.3 瑞利–里兹方法
习题
附录
附录 A希尔伯特空间简介
§A.1 线性空间
§A.2 内积空间
§A.3 希尔伯特空间
部分习题参考答案
主要参考书目
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前辅文
上篇 复变函数论
第一章 复变函数和解析函数
§1.1 复数的基本概念
1.1.1 复数及其代数运算
1.1.2 无穷远点
§1.2 复变函数及其导数 柯西-黎曼条件
1.2.1 复变函数及其导数
1.2.2 柯西-黎曼条件
§1.3 解析函数
§1.4 多值函数
1.4.1 多值函数及其枝点
1.4.2 黎曼面
§1.5 解析函数的几何性质 保角变换
§1.6 解析函数的物理解释 复势
1.6.1 平面静电场的复势
*1.6.2 保角变换将平面的复势变为另一平面的复势
习题
第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式
§2.1 复变函数积分及其性质
2.1.1 复变函数积分
2.1.2 复变函数积分的性质
§2.2 几个引理
§2.3 柯西定理
§2.4 不定积分
§2.5 柯西公式及其几个推论
2.5.1 柯西公式
2.5.2 柯西公式的推论
*§2.6 泊松积分公式
*2.6.1 半平面区域的情况
*2.6.2 圆形区域的情况
习题
第三章 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数 孤立奇点的分类
§3.1 复变函数级数和解析函数级数
§3.2 幂级数的收敛性
3.2.1 幂级数的收敛性
3.2.2 幂级数的收敛圆
§3.3 解析函数的泰勒级数展开
3.3.1 解析函数的泰勒级数
3.3.2 多值函数的泰勒级数
§3.4 解析函数的洛朗级数展开
§3.5 泰勒级数和洛朗级数展开的几种常用方法
§3.6 孤立奇点的分类和特性
3.6.1 解析函数的零点及其孤立性
3.6.2 孤立奇点的分类和特性
习题
第四章 解析延拓Γ函数和B函数
§4.1 解析函数的唯一性
4.1.1 解析延拓
4.1.2 解析函数的唯一性
§4.2 用泰勒级数进行解析延拓
§4.3 利用函数关系式进行解析延拓 Γ函数
§4.4 B函数
§4.5 黎曼ζ函数
习题
第五章 定积分的计算
§5.1 留数定理和留数的求法
5.1.1 留数定理
5.1.2 留数的求法
§5.2 三角函数有理分式的积分：∫02π R(cosx, sinx)dx
§5.3 无穷积分：∫-∞∞f(x)d和∫-∞∞f(x)eimxdx
5.3.1∫-∞∞f(x)dx
5.3.2∫-∞∞f(x)eimxdx
§5.4 积分主值
5.4.1 积分主值和希尔伯特变换
*5.4.2 积分∫abf(x)/x-x0±iεdx（a
5.5.1∫0∞xα-1Q(x)d型的积分（α是非整数）
5.5.2∫0∞lnnQ(x)dx（n=0，1，2，……）
§5.6 几个特殊积分
5.6.1 菲涅耳积分
*5.6.2∫1-1 dx/(1+x2)√1-x2
5.6.3∫-∞∞sinnx/xndx（n为正整数）
5.6.4 应用留数定理计算无穷级数的和
习题
第六章 拉普拉斯变换
§6.1 拉普拉斯变换的定义和基本性质
6.1.1 拉普拉斯变换的定义
6.1.2 拉普拉斯变换的基本性质
§6.2 反演问题 梅林反演公式
6.2.1 反演问题
6.2.2 梅林反演公式和展开定理
§6.3 求原函数和像函数的几种常用方法
§6.4 线性常微分方程的初值问题
§6.5 点源和瞬时源 δ函数
6.5.1 δ函数的定义
6.5.2 δ函数及其导数的性质
6.5.3 δ函数的一个应用（持续作用的力分解为瞬时力）
*6.5.4 另一个角度理解δ函数
*§6.6 Z变换和差分方程的求解简介
*6.6.1 Z变换及其与拉普拉斯变换的关系
*6.6.2 线性差分方程
*6.6.3 用Z变换求解二阶常系数线性差分方程
习题
第七章 傅里叶变换和色散关系
§7.1 傅里叶级数
7.1.1 傅里叶级数
7.1.2 复数形式的傅里叶级数
§7.2 傅里叶变换
7.2.1 傅里叶积分和傅里叶变换
7.2.2 傅里叶变换的基本性质
7.2.3 傅里叶变换与不确定关系
7.2.4 傅里叶变换与拉普拉斯变换的比较
§7.3 多重傅里叶变换
*§7.4 色散关系
*7.4.1 色散关系
*7.4.2 物理应用实例：色散关系的应用
*7.4.3 物理应用实例：色散与群速度大于光速
*§7.5 小波变换的基本思想
*7.5.1 函数局域化概念和窗函数
*7.5.2 伽博变换
*7.5.3 小波变换
习题
第八章 线性常微分方程的级数解法和特殊函数
§8.1 常点邻域方程的级数解 勒让德方程
8.1.1 常点邻域方程的级数解
8.1.2 勒让德方程
§8.2 正则奇点邻域方程的级数解 柱贝塞尔方程
8.2.1 正则奇点邻域方程的级数解
8.2.2 柱贝塞尔方程的第一个解
8.2.3 寻求柱贝塞尔方程的第二个（线性无关）解
8.2.4 再寻柱贝塞尔方程的第二个（线性无关）解
*§8.3 高斯方程和库默尔方程
*8.3.1 高斯方程和超几何函数
*8.3.2 库默尔方程和合流超几何函数
§8.4 非齐次方程的通解
8.4.1 解的解析延拓
8.4.2 非齐次方程的通解公式
习题
下篇 数学物理方程
第九章 数学物理方程的定解问题
§9.1 数学物理方程的导出
9.1.1 弦的横振动方程
9.1.2 杆的纵振动方程
9.1.3 薄膜的振动方程
9.1.4 热传导方程和稳定温度场方程，扩散方程
9.1.5 静电场方程
§9.2 二阶线性偏微分方程的分类和简化
9.2.1 二阶方程的分类
9.2.2 二阶方程的标准形式
9.2.3 二阶常系数方程的进一步简化
9.2.4 多自变量二阶偏微分方程的分类
§9.3 定解问题
§9.4 线性方程的叠加原理
§9.5 定解问题适定性的一些讨论
习题
第十章 行波法和分离变量法 本征值问题
§10.1 一维无界区域的自由振动问题 达朗贝尔公式
10.1.1 行波法和达朗贝尔公式
10.1.2 解的物理解释
§10.2 一维半无界区域的自由振动问题 初始条件的延拓
10.2.1 齐次边界条件的情况
10.2.2 非齐次边界条件的情况
10.2.3 定解问题：从半无界区域到有界区域
§10.3 一维有界区域自由振动问题的驻波解 分离变量法
10.3.1 分离变量法
10.3.2 分离变量法的几点说明和主要步骤
§10.4 非齐次边界条件的齐次化
§10.5 本征函数法
§10.6 施图姆-刘维尔型方程的本征值问题
10.6.1 本征值问题的一般提法
10.6.2 本征值问题的一般性质
*10.6.3 高维情况下的本征值问题
*§10.7 有限项近似
习题
第十一章 积分变换法
§11.1 无界空间的有源导热问题 傅里叶变换法
11.1.1 一维无源导热问题和基本解
11.1.2 一维有源导热问题
11.1.3 三维导热问题
§11.2 三维无界空间的静电场问题
§11.3 三维无界空间的受迫振动 泊松公式和推迟势公式
11.3.1 自由振动问题
11.3.2 受迫振动问题
§11.4 拉普拉斯变换法
习题
第十二章 球坐标系下的分离变量法 勒让德多项式和球谐函数
§12.1 正交曲线坐标系 平面圆形区域的定解问题
12.1.1 正交曲线坐标系和δ函数表达式
12.1.2 场量的梯度、散度、旋度和拉普拉斯算符
12.1.3 圆形区域拉普拉斯方程的定解问题
§12.2 球坐标系下的分离变量法
12.2.1 拉普拉斯方程
12.2.2 稳恒振动问题
§12.3 轴对称问题 勒让德多项式
12.3.1 轴对称问题和勒让德多项式
12.3.2 勒让德多项式的常用性质
§12.4 非轴对称问题 球谐函数
12.4.1 连带勒让德函数
12.4.2 球谐函数
*§12.5 勒让德函数的补充讨论
习题
第十三章 柱坐标系下的分离变量法 贝塞尔函数
§13.1 柱坐标系下的分离变量法
§13.2 贝塞尔函数
13.2.1 贝塞尔函数
13.2.2 本征值问题
*13.2.3 整数阶贝塞尔函数的数值计算
§13.3 虚宗量贝塞尔函数
§13.4 球贝塞尔函数
13.4.1 球贝塞尔函数
13.4.2 本征值问题
§13.5 最速下降法 贝塞尔函数的渐近式
*13.5.1 函数的渐近表达式和斯特令公式
*13.5.2 最速下降法
13.5.3 非整数阶贝塞尔函数的渐近式
*§13.6 非整数阶贝塞尔函数的积分表示
*13.6.1 Γ函数的积分表示
*13.6.2 非整数阶贝塞尔函数的积分表示
§13.7 可以化为贝塞尔方程的一类方程 艾里方程的有限解
习题
第十四章 非齐次方程的定解问题和格林函数法
§14.1 三类边界条件的定解问题的解与格林函数
14.1.1 无界空间的定解问题与格林函数，第二格林公式
14.1.2 形式解
14.1.3 边界条件与格林函数
14.1.4 格林函数法的物理意义
§14.2 格林函数的一般性质
§14.3 特殊区域泊松方程狄利克雷问题的格林函数 镜像法
14.3.1 半无界空间的情况
14.3.2 圆内区域的情况
14.3.3 球内区域的情况
§14.4 格林函数的一般求法
14.4.1 用本征函数族展开
14.4.2 一维空间格林函数的有限形式
*14.4.3 弗雷德霍姆择一定理和广义格林函数
§14.5 无界空间的稳恒振动问题
14.5.1 特殊球坐标系下格林函数的有限形式
14.5.2 特殊柱坐标系下格林函数的有限形式
14.5.3 一般球坐标系下格林函数的级数形式
14.5.4 一般柱坐标系下格林函数的级数形式
14.5.5 平面波用球面波展开
14.5.6 平面波用柱面波展开
*§14.6 受迫振动问题与含时格林函数
*14.6.1 受迫振动问题的解与含时格林函数
*14.6.2 三维无界空间的含时格林函数
*14.6.3 二维无界空间的含时格林函数
*14.6.4 一维无界区间的含时格林函数
*14.6.5 有界空间的含时格林函数
习题
第十五章 变分法
§15.1 变分问题 欧拉-拉格朗日方程
15.1.1 变分问题和欧拉-拉格朗日方程
15.1.2 E–L方程的几种推广情况
§15.2 带约束条件的变分问题
15.2.1 约束条件是J[y]=C（常数）的变分问题
15.2.2 测地线问题
*§15.3 端点值可变情况下的变分问题
§15.4 变分问题与微分方程的求解
15.4.1 与本征值问题的联系
15.4.2 与定解问题的联系
15.4.3 瑞利–里兹方法
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附录 A希尔伯特空间简介
§A.1 线性空间
§A.2 内积空间
§A.3 希尔伯特空间
部分习题参考答案
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