前辅文
 第一章 引言
  1.1 偏微分方程
  1.2 例
   1.2.1 单个偏微分方程
   1.2.2 偏微分方程组
  1.3 学习PDE的计划
   1.3.1 适定问题，经典解
   1.3.2 弱解和正则性
   1.3.3 特有的困难
  1.4 综述
  1.5 习题
  1.6 参考文献
 第一部分 解的表示形式
  第二章 四个重要的偏微分方程
   2.1 传输方程
    2.1.1 初值问题
    2.1.2 非齐次问题
   2.2 Laplace方程
    2.2.1 基本解
    2.2.2 平均值公式
    2.2.3 调和函数的性质
    2.2.4 Green函数
    2.2.5 能量方法
   2.3 热传导方程
    2.3.1 基本解
    2.3.2 平均值公式
    2.3.3 解的性质
    2.3.4 能量方法
   2.4 波动方程
    2.4.1 由球面平均得解
    2.4.2 非齐次问题
    2.4.3 能量方法
   2.5 习题
   2.6 参考文献
  第三章 非线性一阶PDE
   3.1 完全积分，包络
    3.1.1 完全积分
    3.1.2 从包络得到新解
   3.2 特征
    3.2.1 特征ODE的推导
    3.2.2 例
    3.2.3 边界条件
    3.2.4 局部解
    3.2.5 应用
   3.3 Hamilton-Jacobi方程组入门
    3.3.1 变分学，Hamilton ODE
    3.3.2 Legendre变换，Hopf-Lax公式
    3.3.3 弱解，唯一性
   3.4 守恒律入门
    3.4.1 激波，熵条件
    3.4.2 Lax-Oleinik公式
    3.4.3 弱解，唯一性
    3.4.4 Riemann问题
    3.4.5 长期行为
   3.5 习题
   3.6 参考文献
  第四章 解的其他表示方法
   4.1 分离变量法
    4.1.1 例
    4.1.2 应用: Turing不稳定性
   4.2 相似解
    4.2.1 平面波，行波，孤子
    4.2.2 尺度变换下的相似性
   4.3变换方法
    4.3.1 Fourier变换
    4.3.2 Radon变换
    4.3.3 Laplace变换
   4.4 化非线性PDE为线性
    4.4.1 Cole-Hopf变换
    4.4.2 势函数
    4.4.3 速端曲线与Legendre变换
   4.5 渐近方法
    4.5.1 奇异摄动
    4.5.2 Laplace方法
    4.5.3 几何光学，驻定相
    4.5.4 均匀化
   4.6 幂级数
    4.6.1 非特征曲面
    4.6.2 实解析函数
    4.6.3 Cauchy-Kovalevskaya定理
   4.7 习题
   4.8 参考文献
 第二部分 线性偏微分方程理论
  第五章 Sobolev空间
   5.1 Hölder空间
   5.2 Sobolev空间
    5.2.1 弱导数
    5.2.2 Sobolev空间的定义
    5.2.3 初等性质
   5.3 逼近
    5.3.1 用光滑函数内部逼近
    5.3.2 用光滑函数逼近
    5.3.3 用光滑函数全局逼近
   5.4 扩张
   5.5 迹
   5.6 Sobolev不等式
    5.6.1 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式
    5.6.2 Morrey不等式
    5.6.3 一般的Sobolev不等式
   5.7 紧性
   5.8 附加课题
    5.8.1 Poincaré不等式
    5.8.2 差商
    5.8.3 几乎处处可微性
    5.8.4 Hardy不等式
    5.8.5 Fourier变换法
   5.9 其他函数空间
    5.9.1 H−1空间
    5.9.2 含有时间的空间
   5.10 习题
   5.11 参考文献
  第六章 二阶椭圆型方程
   6.1 定义
    6.1.1 椭圆型方程
    6.1.2 弱解
   6.2 弱解的存在性
    6.2.1 Lax-Milgram定理
    6.2.2 能量估计
    6.2.3 Fredholm二择一律
   6.3 正则性
    6.3.1 内部正则性
    6.3.2 边界正则性
   6.4 最大值原理
    6.4.1 弱最大值原理
    6.4.2 强最大值原理
    6.4.3 Harnack不等式
   6.5 特征值与特征函数
    6.5.1 对称椭圆算子的特征值
    6.5.2 非对称椭圆算子的特征值
   6.6 习题
   6.7 参考文献
  第七章 线性发展方程
   7.1 二阶抛物型方程
    7.1.1 定义
    7.1.2 弱解的存在性
    7.1.3 正则性
    7.1.4 最大值原理
   7.2 二阶双曲型方程
    7.2.1 定义
    7.2.2 弱解的存在性
    7.2.3 正则性
    7.2.4 扰动的传播
    7.2.5 两个自变量的方程
   7.3 一阶双曲组
    7.3.1 定义
    7.3.2 对称双曲组
    7.3.3 常系数双曲组
   7.4 半群理论
    7.4.1 定义和基本性质
    7.4.2 生成压缩半群
    7.4.3 应用
   7.5 习题
   7.6 参考文献
 第三部分 非线性偏微分方程理论
  第八章 变分法
   8.1 引言
    8.1.1 基本思想
    8.1.2 一阶变分，Euler-Lagrange方程
    8.1.3 二阶变分
    8.1.4 方程组
   8.2 最小的存在性
    8.2.1 强制性，下半连续性
    8.2.2 凸性
    8.2.3 Euler-Lagrange方程的弱解
    8.2.4 方程组
    8.2.5 局部极小
   8.3 正则性
    8.3.1 二阶导数估计
    8.3.2 更高正则性的注
   8.4 约束
    8.4.1 非线性特征值问题
    8.4.2 单侧约束，变分不等式
    8.4.3 调和映射
    8.4.4 不可压性
   8.5 临界点
    8.5.1 山路定理
    8.5.2 对半线性椭圆型PDE的应用
   8.6 不变量，Noether定理
    8.6.1 不变变分问题
    8.6.2 Noether定理
   8.7 习题
   8.8 参考文献
  第九章 非变分技术
   9.1 单调方法
   9.2 不动点方法
    9.2.1 Banach不动点定理
    9.2.2 Schauder，Schaefer不动点定理
   9.3 上、下解方法
   9.4 解的不存在性
    9.4.1 破裂
    9.4.2 Derrick-Pohozaev恒等式
   9.5 解的几何性质
    9.5.1 星形水平集
    9.5.2 径向对称性
   9.6 梯度流
    9.6.1 Hilbert空间上的凸函数
    9.6.2 次微分与非线性半群
    9.6.3 应用
   9.7 习题
   9.8 参考文献
  第十章 Hamilton-Jacobi方程
   10.1 引言，黏性解
    10.1.1 定义
    10.1.2 相容性
   10.2 唯一性
   10.3 控制理论，动态规划
    10.3.1 最优控制理论初步
    10.3.2 动态规划
    10.3.3 Hamilton-Jacobi-Bellman方程
    10.3.4 再谈Hopf-Lax公式
   10.4 习题
   10.5 参考文献
  第十一章 守恒律组
   11.1 引言
    11.1.1 积分解
    11.1.2 行波，双曲组
   11.2 Riemann 问题
    11.2.1 简单波
    11.2.2 稀疏波
    11.2.3 激波，接触不连续线
    11.2.4 Riemann 问题的局部解
   11.3 两个守恒律的方程组
    11.3.1 Riemann不变量
    11.3.2 光滑解的不存在性
   11.4 熵判据
    11.4.1 消黏，行波
    11.4.2 熵/熵通量配对
    11.4.3 标量守恒律的唯一性
   11.5 习题
   11.6 参考文献
  第十二章 非线性波动方程
   12.1 引言
    12.1.1 能量守恒
    12.1.2 有限传播速率
   12.2 解的存在性
    12.2.1 Lipschitz非线性
    12.2.2 短时存在性
   12.3 半线性波动方程
    12.3.1 符号条件
    12.3.2 三维空间
    12.3.3 亚临界指数非线性
   12.4 临界指数非线性
   12.5 解的不存在性
    12.5.1 负能量时的不存在性
    12.5.2 小初始数据时的不存在性
   12.6 习题
   12.7 参考文献
 附录
  A. 记号
   A.1 数组及其运算
   A.2 几何记号
   A.3 函数记号
   A.4 向量值函数
   A.5 估计的记号
   A.6 对记号的评论
  B.不等式
   B.1 凸函数
   B.2 有用的不等式
  C. 微积分
   C.1 边界
   C.2 Gauss-Green定理
   C.3 极坐标，余面积公式
   C.4 动区域
   C.5 卷积与光滑
   C.6 反函数定理
   C.7 隐函数定理
   C.8 一致收敛
  D. 线性泛函分析
   D.1 Banach空间
   D.2 Hilbert空间
   D.3 有界线性算子
   D.4 弱收敛
   D.5 紧算子，Fredholm理论
   D.6 对称算子
  E. 测度论
   E.1 Lebesgue测度
   E.2 可测函数与积分
   E.3 积分收敛定理
   E.4 微分
   E.5 Banach空间值函数
 参考文献
 名词索引