目  录





 



 
 
 
 
 
 




第Ⅰ部分  建模、计算机与误差分析
第1章  数学建模、数值方法与问题
求解   3
提出问题   3
1.1  一个简单的数学模型   4
1.2  工程与科学中的守恒律   10
1.3  本书中涉及的数值方法   13
1.4  案例研究   15
1.5  习题   17
第2章  MATLAB基础   29
提出问题   29
2.1 
MATLAB环境   30
2.2  赋值   31
2.2.1  标量   31
2.2.2  数组、向量和矩阵   33
2.2.3  冒号操作符   35
2.2.4  linspace和logspace函数   36
2.2.5  字符串   36
2.3  数学运算   38
2.4  使用内置函数   42
2.5  绘图   45
2.6  其他资源   49
2.7  案例研究：探索性数据
分析   49
2.8  习题   51
第3章  编写MATLAB程序   59
提出问题   59
3.1  M文件   60
3.1.1  脚本文件   60
3.1.2  函数文件   61
3.1.3  变量的作用域   63
3.1.4  全局变量   64
3.1.5  子函数   66
3.2  输入/输出   67
3.3  结构化编程   71
3.3.1  决策   71
3.3.2  循环   79
3.3.3  动画   83
3.4  嵌套与缩进   85
3.5  将函数传入M文件   88
3.5.1  匿名函数   88
3.5.2  函数函数   89
3.5.3  传递参数   92
3.6  案例研究：蹦极运动员的
速度   93
3.7  习题   97
第4章  舍入与截断误差   111
提出问题   111
4.1  误差   112
4.1.1  准确度与精度   112
4.1.2  误差定义   113
4.1.3  迭代计算的计算机算法   116
4.2  舍入误差   118
4.2.1  计算机中数的表示   118
4.2.2  计算机中数的算术运算   123
4.3  截断误差   125
4.3.1  泰勒级数   125
4.3.2  泰勒级数展开的余项   129
4.3.3  用泰勒级数估计截断
误差   131
4.3.4  数值差分   132
4.4  总数值误差   136
4.4.1  数值微分的误差分析   137
4.4.2  数值误差的控制   139
4.5  粗差、模型误差和
数据不确定性   140
4.5.1  粗差   140
4.5.2  模型误差   141
4.5.3  数据不确定性   141
4.6  习题   141
第Ⅱ部分  求根与最优化
第5章  求根：划界法   149
提出问题   149
5.1  工程和科学领域中的
求根问题   150
5.2  图形法   151
5.3  划界法与初始猜测值   153
5.4  二分法   157
5.5  试位法   163
5.6  案例研究：温室气体与
雨水   166
5.7  习题   169
第6章  方程求根：开方法   177
6.1  简单不动点迭代   178
6.2  牛顿-拉弗森方法   182
6.3  割线法   187
6.4  布伦特法   189
6.4.1  逆二次插值   189
6.4.2  布伦特法算法   191
6.5 
MATLAB函数：fzero   193
6.6  多项式   195
6.7  案例研究：管道摩擦力   198
6.8  习题   202
第7章  最优化   213
提出问题   213
7.1  简介与背景   214
7.2  一维最优化   216
7.2.1  黄金分割搜索   217
7.2.2  抛物线插值   222
7.2.3 
MATLAB函数：
fminbnd   224
7.3  多维最优化   225
7.4  案例研究：平衡与
极小势能   227
7.5  习题   229
第Ⅲ部分  线性方程组
第8章  线性代数方程和矩阵   245
提出问题   245
8.1  矩阵代数概述   247
8.1.1  矩阵符号   247
8.1.2  矩阵的运算规则   249
8.1.3  将线性代数方程组表示成
矩阵形式   256
8.2  用MATLAB求解线性
代数方程组   257
8.3  案例研究：电路中的
电流和电压   258
8.4  习题   262
第9章  高斯消元法   269
9.1  求解小型方程组   270
9.1.1  绘图法   270
9.1.2  行列式和克拉默法则   271
9.1.3  未知数消元法   274
9.2  朴素高斯消元法   275
9.2.1 
MATLAB M文件：
GaussNaive   278
9.2.2  运算次数   279
9.3  选主元   281
9.3.1  MATLAB M文件：
GaussPivot   283
9.3.2  用高斯消元法计算
行列式   284
9.4  三对角方程组   285
9.5  案例研究：热杆模型   287
9.6  习题   290
第10章  LU分解   297
10.1  LU分解概述   298
10.2  高斯消元法与LU分解   299
10.2.1  使用选主元的LU分解   302
10.2.2 
MATLAB函数：lu   304
10.3  楚列斯基分解   305
10.4 
MATLAB的左除运算   308
10.5  习题   308
第11章  矩阵求逆和条件数   311
11.1  矩阵的逆   311
11.1.1 
逆矩阵的计算   311
11.1.2 
激励-响应计算   313
11.2  误差分析和方程组的
条件数   315
11.2.1  向量和矩阵
范数   316
11.2.2  矩阵条件数   317
11.2.3  用MATLAB计算
范数和条件数   319
11.3  案例研究：室内空气
污染   320
11.4  习题   323
第12章  迭代法   329
12.1  线性方程组：
高斯-赛德尔   329
12.1.1  收敛性与对角占优   332
12.1.2  MATLAB M文件：
GaussSeidel   332
12.1.3  松弛法   333
12.2  非线性方程组   335
12.2.1  逐次代换法   336
12.2.2  牛顿-拉弗森方法   337
12.2.3  MATLAB函数：
fsolve   342
12.3  案例研究：化学反应   343
12.4  习题   345
第13章  特征值   351
提出问题   351
13.1  数学背景   352
13.2  物理背景   356
13.3  幂方法   358
13.4 
MATLAB函数：eig   360
13.5  案例研究：特征值与
地震   362
13.6  习题   364
第Ⅳ部分  曲线拟合
第14章  线性回归   373
提出问题   373
14.1  统计学回顾   374
14.1.1  描述统计学   375
14.1.2  正态分布   377
14.1.3  用MATLAB计算描述
统计学量   378
14.2  随机数和模拟   380
14.2.1  MATLAB函数：rand   380
14.2.2  MATLAB函数：
randn   383
14.3  线性最小二乘回归   384
14.3.1  “最佳”拟合条件   385
14.3.2  直线的最小二乘拟合   386
14.3.3  线性回归误差的量化   388
14.4  非线性关系的线性化   392
14.5  计算机应用   396
14.5.1  MATLAB M文件：
linregr   396
14.5.2  MATLAB函数：
polyfit和polyval   398
14.6  案例研究：酶动力学   398
14.7  习题   402
 
第15章  一般线性最小二乘回归和
非线性回归   413
15.1  多项式回归   413
15.2  多重线性回归   416
15.3  一般线性最小二乘回归   419
15.4  QR分解与反斜杆运算符   421
15.5  非线性回归   422
15.6  案例研究：实验数据
拟合   424
15.7  习题   427
第16章  傅里叶分析   435
提出问题   435
16.1  使用正弦函数进行
曲线拟合   436
16.2  连续傅里叶级数   442
16.3  频域和时域   444
16.4  傅里叶积分和变换   447
16.5  离散傅里叶变换(DFT)   447
16.5.1  快速傅里叶
变换(FFT)   449
16.5.2  MATLAB函数：fft   450
16.6  功率谱   452
16.7  案例研究：太阳黑子   453
16.8  习题   455
第17章  多项式插值   459
提出问题   459
17.1  插值法导论   460
17.1.1  确定多项式的系数   461
17.1.2  MATLAB函数：
polyfit和polyval   462
17.2  牛顿插值多项式   463
17.2.1  线性插值   463
17.2.2  二次插值   465
17.2.3  牛顿插值多项式的
一般形式   466
17.2.4  MATLAB M文件：
Newtint   469
17.3  拉格朗日插值多项式   470
17.4  逆插值   473
17.5  外插值和振荡   474
17.5.1  外插值   474
17.5.2  振荡   476
17.6  习题   478
第18章  样条和分段插值   485
18.1  样条导论   485
18.2  线性样条   487
18.3  二次样条   490
18.4  三次样条   493
18.4.1  三次样条的推导   494
18.4.2  边界条件   497
18.5  MATLAB中的分段线性
插值   498
18.5.1  MATLAB函数：
spline   499
18.5.2  MAYTLAB函数：
interp1   500
18.6  多维插值   502
18.6.1  双线性插值   503
18.6.2  MATLAB中的
多维插值   504
18.7  案例研究：传热   505
18.8  习题   508
第Ⅴ部分  积分与微分
第19章  数值积分公式   519
提出问题   519
19.1  导论和背景   520
19.1.1  什么是积分   520
19.1.2  工程和科学中的积分   521
19.2  牛顿-科特斯公式   523
19.3  梯形法则   524
19.3.1  梯形法则的误差   525
19.3.2  复合梯形法则   527
19.3.3  MATLAB M文件：
trap   529
19.4  辛普森法则   530
19.4.1  辛普森1/3法则   531
19.4.2  复合辛普森1/3法则   532
19.4.3  辛普森3/8法则   534
19.5  高阶牛顿-科特斯公式   536
19.6  非等距积分   537
19.6.1  MATLAB M文件：
trapuneq   537
19.6.2  MATLAB函数：
trapz和cumtrapz   538
19.7  开型方法   540
19.8  多重积分   541
19.9  案例研究：用数值积分
计算功   543
19.10  习题   546
第20章  函数的数值积分   555
20.1  导论   555
20.2  龙贝格积分   556
20.2.1  理查森外推法   556
20.2.2  龙贝格积分公式   558
20.3  高斯求积   561
20.3.1  待定系数法   562
20.3.2  两点高斯-勒让德
公式的推导   563
20.3.3  更多点的公式   566
20.4  自适应求积分   567
20.4.1  MATLAB的 M文件：
quadadapt   567
20.4.2  MATLAB函数：
integral   570
20.5  案例研究：均方根电流   570
20.6  习题   574
第21章  数值微分   581
提出问题   581
21.1  导论和背景   582
21.1.1  什么是微分   582
21.1.2  工程和科学中的微分   583
21.2  高精度微分公式   585
21.3  理查森外推法   588
21.4  不等距数据的导数   589
21.5  含误差数据的导数与
积分   590
21.6  偏导数   591
21.7  用MATLAB计算数值
微分   592
21.7.1  MATLAB函数：diff   592
21.7.2  MATLAB函数：
gradient   594
21.8  案例研究：向量场的
可视化   596
21.9  习题   597
第Ⅵ部分  常微分方程
第22章  初值问题   613
提出问题   613
22.1  概述   614
22.2  欧拉法   615
22.2.1  欧拉法的误差分析   617
22.2.2  欧拉法的稳定性   618
22.2.3  MATLAB的M文件
函数：eulode   619
22.3  欧拉法的改进   620
22.3.1  休恩法   620
22.3.2  中点方法   624
22.4  龙格-库塔方法   625
22.4.1  二阶龙格-库塔方法   626
22.4.2  古典四阶龙格-库塔
方法   627
22.5  方程组   630
22.5.1  欧拉法   630
22.5.2  龙格-库塔方法   631
22.5.3  MATLAB的M文件
函数：rk4sys   633
22.6  案例研究：捕食者-猎物
模型与混沌   635
22.7  习题   639
第23章  自适应方法和刚性
方程组   647
23.1  自适应龙格-库塔方法   647
23.1.1  求解非刚性方程组的
MATLAB函数   649
23.1.2  事件   653
23.2  多步方法   655
23.2.1  非自启动休恩法   655
23.2.2  误差估计   658
23.3  刚性   659
23.4  MATLAB应用：带绳索的
蹦极运动员   664
23.5  案例研究：普林尼的
间歇式喷泉   665
23.6  习题   669
第24章  边值问题   679
提出问题   679
24.1  导论和背景   680
24.1.1  什么是边值问题   680
24.1.2  工程和科学中的
边值问题   681
24.2  打靶法   684
24.2.1  导数边界条件   686
24.2.2  非线性ODE的
打靶法   688
24.3  有限差分法   690
24.3.1  导数边界条件   692
24.3.2  非线性ODE的
有限差分法   694
24.4 
MATLAB函数：bvp4c   696
24.5  习题   698
附录A  MATLAB内置函数   707
附录B  MATLAB的M文件函数   709
附录C  Simulink简介   711