- 科学出版社
- 9787030404510
- 1-7
- 49263895-2
- 大大32开
- 2025-12
- 235
- 理学
- 数学类
- 数学
- 本科
内容简介
本书是作者在多年教学经验的基础上撰写的一部实变函数教材, 第二版
在第一版使用9 年的基础上作了修订, 第三版特别增加了部分习题参考答案与
提示. 本书内容包括：集合与实数集、Lebesgue 测度、可测函数、Lebesgue
积分、微分和积分、Lp 空间. 每章后均附习题与例题, 以便于读者学习和掌握
实变函数论的基础知识.
在第一版使用9 年的基础上作了修订, 第三版特别增加了部分习题参考答案与
提示. 本书内容包括：集合与实数集、Lebesgue 测度、可测函数、Lebesgue
积分、微分和积分、Lp 空间. 每章后均附习题与例题, 以便于读者学习和掌握
实变函数论的基础知识.
目录
目录
丛书第三版序丛书第一版序第三版前言第二版前言第 1章集合与实数集 ..........................................................1
1.1集合及其运算 .......................................................... 1
1.2集合序列的极限 ........................................................ 4
1.3映射 ....................................................................6
1.4集合的等价、基数 ...................................................... 8
1.5 Rn中的拓扑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15第 1章习题与例题 ......................................................... 23第 2章 Lebesgue测度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2.2 Lebesgue外测度 ...................................................... 29
2.3 Lebesgue可测集与 Lebesgue测度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
2.4测度的平移不变性及不可测集的例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
2.5可测集用开集和闭集来逼近 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6代数、 σ代数与 Borel集 .............................................. 40
2.7 Rn中的可测集 ....................................................... 41
第 2章习题与例题 ......................................................... 46
第 3章可测函数 ............................................................. 51
3.1可测函数的定义及有关性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2可测函数的其他性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3可测函数用连续函数来逼近 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4测度收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Rn上的可测函数 ..................................................... 60第 3章习题与例题 ......................................................... 62第 4章 Lebesgue积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1非负简单函数的 Lebesgue积分 ....................................... 65
4.2非负可测函数的 Lebesgue积分 ....................................... 69
4.3一般可测函数的 Lebesgue积分 ....................................... 72
4.4 Riemann积分与 Lebesgue积分 ....................................... 78
4.5重积分、累次积分、 Fubini定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82第 4章习题与例题 ......................................................... 87第 5章微分和积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1单调函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2有界变差函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3不定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
5.4绝对连续函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.5积分的变量替换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
5.6密度、全密点与近似连续 ............................................ 115第 5章习题与例题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116第 6章 Lp空间 ............................................................. 121
6.1基本概念与性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
6.2 Lp空间中的收敛、完备性及可分性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3 L2空间 .............................................................. 126
6.4 L2(E)中的线性无关组. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130第 6章习题与例题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135部分习题参考答案与提示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
丛书第三版序丛书第一版序第三版前言第二版前言第 1章集合与实数集 ..........................................................1
1.1集合及其运算 .......................................................... 1
1.2集合序列的极限 ........................................................ 4
1.3映射 ....................................................................6
1.4集合的等价、基数 ...................................................... 8
1.5 Rn中的拓扑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15第 1章习题与例题 ......................................................... 23第 2章 Lebesgue测度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2.2 Lebesgue外测度 ...................................................... 29
2.3 Lebesgue可测集与 Lebesgue测度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
2.4测度的平移不变性及不可测集的例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
2.5可测集用开集和闭集来逼近 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6代数、 σ代数与 Borel集 .............................................. 40
2.7 Rn中的可测集 ....................................................... 41
第 2章习题与例题 ......................................................... 46
第 3章可测函数 ............................................................. 51
3.1可测函数的定义及有关性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2可测函数的其他性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3可测函数用连续函数来逼近 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4测度收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Rn上的可测函数 ..................................................... 60第 3章习题与例题 ......................................................... 62第 4章 Lebesgue积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1非负简单函数的 Lebesgue积分 ....................................... 65
4.2非负可测函数的 Lebesgue积分 ....................................... 69
4.3一般可测函数的 Lebesgue积分 ....................................... 72
4.4 Riemann积分与 Lebesgue积分 ....................................... 78
4.5重积分、累次积分、 Fubini定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82第 4章习题与例题 ......................................................... 87第 5章微分和积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1单调函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2有界变差函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3不定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
5.4绝对连续函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.5积分的变量替换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
5.6密度、全密点与近似连续 ............................................ 115第 5章习题与例题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116第 6章 Lp空间 ............................................................. 121
6.1基本概念与性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
6.2 Lp空间中的收敛、完备性及可分性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3 L2空间 .............................................................. 126
6.4 L2(E)中的线性无关组. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130第 6章习题与例题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135部分习题参考答案与提示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
