第一章 数值计算导论
  §1 数学问题与数值计算问题
  §2 数值计算的基本数学思想与方法
   2.1 数值计算的基本思想
   2.2 数值计算的基本方法
  §3 计算误差的基本概念和误差分析
   3.1 误差来源的分类
   3.2 绝对误差、相对误差与有效数字
   3.3 算术运算的误差
   3.4 适定性与稳定性
   3.5 避免和减少误差的若干计算原则
  §4 算法性态分析概述
   4.1 计算复杂度——计算的代价
   4.2 收敛率——计算的速度
  §5 问题与探索
   5.1 数值问题的病态性
   5.2 迭代法的收敛性及其收敛速度（收敛率）
   5.3 20世纪十大算法
   5.4 线性代数方程组问题与建模
  习题一
  数值实验一
   数值实验1.1 迭代法的设计与运行
   数值实验1.2 函数逼近
 第二章 求解线性代数方程组的直接方法
  §1 引言
  §2 初等下三角形矩阵——Gauss变换矩阵
  §3 Gauss消元法
   3.1 顺序Gauss消元法
   3.2 消元过程的可行性
   3.3 Gauss消元法的矩阵分析
   3.4 Gauss主元消元法
  §4 三角分解法
   4.1 直接三角分解法
   4.2列主元三角分解法
   4.3 带状对角形方程组的三角分解法
   4.4 正定矩阵的三角分解法
  §5 向量与矩阵的范数
   5.1 线性空间中的范数
   5.2 几个常用的向量范数
   5.3 向量范数的等价性
   5.4 矩阵范数
   5.5 几个常用的诱导矩阵范数
   5.6 范数的若干应用
  §6 线性方程组的误差分析及其性态
   6.1 直接法的误差分析
   6.2 线性方程组的条件数
  §7 问题与探索
   7.1 条件数的近似计算
   7.2 迭代改善法
   7.3 求解拟三对角线性方程组的直接方法
  本章评述
  习题二
  数值实验二
   数值实验2.1 电阻网络问题的求解
   数值实验2.2 时间序列模型的求解
 第三章 求解线性代数方程组的迭代法
  §1 引言
  §2 基本迭代法及其构造
  §3 基本迭代法的收敛理论
   3.1 迭代法的收敛性分析
   3.2 收敛定理
   3.3 误差估计
  §4 几类特殊方程的基本迭代法的收敛性
   4.1 对角占优矩阵方程的基本迭代法的收敛性
   4.2 对称正定矩阵方程的基本迭代法的收敛性
   4.3 SOR迭代格式的收敛性
   4.4 Richardson迭代格式的收敛性
  §5 迭代加速方法
   5.1 多项式加速方法
   5.2 SOR迭代的最优松弛因子
  §6 求解Ax=b的变分原理与共轭梯度法
   6.1求解Ax=b的变分原理与最速下降法
   6.2 最速下降法的收敛性
   6.3 共轭方向法
   6.4 共轭梯度法
   6.5 共轭梯度法的收敛性
   6.6 求解非奇异方程组的共轭梯度法
  §7 问题与探索
   7.1 不动点原理
   7.2 预处理共轭梯度法
   7.3 最优松弛因子的实用选择方法
  本章评述
  习题三
  数值实验三
   数值实验3.1 基本迭代法的运行(1)
   数值实验3.2 基本迭代法的运行(2)
   数值实验3.3 迭代法的进一步认识(1)
   数值实验3.4 迭代法的进一步认识(2)
 第四章 非线性方程组的数值求解
  §1 概述
  §2 非线性方程的根的定位和二分法
   2.1 根的定位
   2.2 二分法
  §3 基于不动点原理的迭代法
   3.1 不动点方程与不动点迭代法
   3.2 不动点的存在性与迭代法的全局收敛性
   3.3 迭代法的局部收敛性与收敛阶
   3.4 迭代法收敛的加速方法
  §4 Newton法（切线法）
   4.1 Newton法及其迭代格式
   4.2 Newton法的收敛性
   4.3 求重根的修正Newton法
   4.4 Newton法的进一步研究
  §5 非线性方程组的数值求解的基本方法
   5.1 概述
   5.2 向量值函数的可微性
   5.3 不动点迭代法及其局部收敛性
   5.4 Newton迭代法
  §6 非线性方程组的数值方法的进一步研究
   6.1 同伦算法
   6.2 拟Newton法
  §7 问题与探索
   7.1 方程重根数的计算方法
   7.2 基于变分原理的最小二乘法
   7.3 矩阵特征值问题的实例
  本章评述
  习题四
  数值实验四
   数值实验4.1 算法的设计和性能比较研究
   数值实验4.2 Newton法收敛域的结构和局部收敛性
   数值实验4.3 一般迭代格式的复杂行为
   数值实验4.4 非线性方程组的数值求解
 第五章 矩阵特征值问题的数值方法
  §1 矩阵特征值问题的有关基础
  §2 乘幂法与反乘幂法
   2.1 乘幂法的基本原理
   2.2 乘幂法的计算格式
   2.3 加速收敛技术
   2.4 反乘幂法与Rayleigh商迭代法(RQI)
   2.5 基于乘幂法的降阶收缩方法
  §3 常用的线性变换工具
   3.1 正交上三角化变换
   3.2 Householder反射变换
   3.3 实现正交三角分解的Givens旋转变换和Schmidt变换
  §4 求解一般矩阵特征值问题的QR方法
   4.1 基本QR迭代格式
   4.2 QR方法的收敛性
   4.3 QR方法的预处理
   4.4 带平移QR迭代方法
  §5 对称矩阵特征值问题
   5.1 乘幂法
   5.2 对称QR方法
   5.3 Householder方法
   5.4 Jacobi方法
  §6 问题与探索
   6.1 Krylov子空间方法的基本思想
   6.2 Arnoldi过程
   6.3 Lanczos过程
  本章评述
  习题五
  数值实验五
   数值实验5.1 矩阵特征值问题条件数的估计
   数值实验5.2 QR方法的实施
   数值实验5.3 对称矩阵特征值问题的不同方法的比较
 第六章 数值逼近问题(Ⅰ)——插值及其数值计算
  §1 插值的基本概念
  §2 多项式插值
   2.1 Lagrange插值
   2.2 插值多项式的插值余项
   2.3 Newton插值
   2.4 有限差分计算
   2.5 等距节点上的插值公式
   2.6 Hermite插值
   2.7 Newton-Hermite插值公式
  §3 分段线性插值
  §4 三次样条插值
   4.1 三次样条函数
   4.2 三次样条插值的计算
   4.3 误差界与收敛性
  §5 B-样条函数
   5.1 n次样条函数空间
   5.2 B-样条及其性质
  §6 问题与探索
   6.1 Lagrange-Hermite插值公式
  本章评述
  习题六
  数值实验六
   数值实验6.1 观察Lagrange插值的Runge现象
   数值实验6.2 验证三次样条函数插值是否有几何不变性
 第七章 数值逼近问题(Ⅱ)——函数的最优逼近与拟合
  §1 线性赋范空间中的逼近问题
   1.1 函数逼近与函数空间
   1.2 赋范线性空间中的最佳逼近
  §2 最佳一致逼近
  §3 最小零偏差多项式及其应用
   3.1 Chebyshev多项式
   3.2 代数插值余项的极小化
   3.3 Taylor级数项数的节约
  §4 最佳平方逼近
   4.1 线性内积空间
   4.2 线性内积空间的最佳逼近
   4.3 函数的最佳平方逼近
   4.4 正交基
  §5 正交多项式
   5.1 Legendre多项式
   5.2 Chebyshev多项式
   5.3 无穷区间上的正交多项式
  §6 离散情况的最佳平方逼近
  §7 数据拟合的最小二乘法
   7.1 问题的引入
   7.2 一般提法
  §8 有理函数插值与逼近
  §9 Pade逼近方法
  §10 快速Fourier变换(FFT)
   10.1 三角函数插值和有限Fourier变换
   10.2 快速Fourier变换
   10.3 计算实例与倒地址问题
  §11 问题与探索
   11.1 最小二乘法模型中的线性和非线性函数
   11.2 带约束条件的最小二乘法
  本章评述
  习题七
  数值实验七
   数值实验7.1 非线性最小二乘拟合方法的比较
   数值实验7.2 最佳平方逼近多项式的收敛性
   数值实验7.3 Pade逼近的收敛性
   数值实验7.4 函数平方逼近多项式的均方误差计算
 第八章 数值积分与数值微分
  §1 概述
   1.1 数值积分与数值微分问题
   1.2 数值积分的基本思想
  §2 插值型求积法
   2.1 插值型求积公式
   2.2 Newton-Cotes公式
   2.3 插值型求积公式的收敛性和数值稳定性
  §3 复化求积法
   3.1 复化梯形公式
   3.2 复化Simpson公式
   3.3 复化Cotes公式
  §4 外推积分法与Romberg求积公式
   4.1 外推法的基本思想
   4.2 Euler-Maclaurin求和公式
   4.3 Richardson外推法
   4.4 Romberg求积公式
  §5 Gauss求积法
   5.1 引言
   5.2 Gauss数值求积原理及其性质
   5.3 几种常用的Gauss求积公式
  §6 重积分的数值计算
   6.1 矩形区域上的二重梯形公式
   6.2 矩形区域上的二重Simpson公式
  §7 数值微分
   7.1 基于插值法的数值微分法
   7.2 样条插值函数数值微分法
   7.3 化微分问题为积分问题的数值微分法
  §8 问题与探索
   8.1 积分方程的数值解
   8.2 非标准权函数的Gauss求积公式的构造
   8.3 常微分方程问题及其模型
  本章评述
  习题八
  数值实验八
   数值实验8.1 复化梯形积分法、复化Simpson积分法和Gauss积分法的实验比较
   数值实验8.2 数值积分法用于积分方程求解
   数值实验8.3 数值微分法用于偏微分方程求解
   数值实验8.4 样条插值函数求积法
 第九章 常微分方程初值问题的数值方法
  §1 引言
   1.1 解析解的理论结果
   1.2 数值求解的基本思想
  §2 简单的数值方法及其分析
   2.1 Euler法及其几何解释
   2.2 Euler法误差分析
   2.3 其他简单单步法
   2.4 单步法的局部截断误差与阶
  §3 Runge-Kutta方法
   3.1 Taylor级数法
   3.2 RK方法的构造
   3.3 二阶显式RK方法
   3.4 三阶与四阶显式RK方法
   3.5 隐式与半隐式RK方法
  §4 单步法的收敛性与稳定性
   4.1 收敛性与相容性
   4.2 整体截断误差估计及其应用
   4.3 绝对稳定性与绝对稳定区域
  §5 线性多步法
   5.1 线性多步法的构造——数值积分法
   5.2 线性多步法的构造——待定系数法
   5.3 线性多步法的收敛性和稳定性
   5.4 线性多步法的应用
  §6 求解方程组和高阶方程的数值方法
   6.1 一阶方程组
   6.2 化高阶方程为一阶方程组
  §7 问题与探索
   7.1 刚性微分方程问题
   7.2 微分方程边值问题的数值方法
   7.3 微分方程的动力迭代法
  本章评述
  习题九
  数值实验九
   数值实验9.1 观察显式Euler法的数值不稳定性
   数值实验9.2 观察当解不光滑时数值方法的收敛性
   数值实验9.3 初步认识刚性微分方程
   数值实验9.4 边值问题的数值方法
   数值实验9.5 简单的捕食模型
 主要参考文献
 名词索引