- 科学出版社
- 9787030394996
- 1-7
- 49224345-6
- 大32开
- 2026-01
- 401
- 理工科
- 本科
内容简介
内 容 简 介
本书的内容包括数学建模常用软件介绍, 代数模型, 微分与差分方程
模型, 数学规划, 概率统计方法模型, 图论模型, 预测和决策模型, 全国
大学生数学建模真题. 本书注重阐述各类数学模型的基本原理和方法, 使
之具有一定的系统性和新颖性; 同时也介绍了求解数学模型的MATLAB
软件、LINGO 软件和R 软件. 为了便于读者理解和掌握书中的内容, 书中
给出了部分案例的模型及其求解程序代码, 并配有适量的习题.
本书的内容包括数学建模常用软件介绍, 代数模型, 微分与差分方程
模型, 数学规划, 概率统计方法模型, 图论模型, 预测和决策模型, 全国
大学生数学建模真题. 本书注重阐述各类数学模型的基本原理和方法, 使
之具有一定的系统性和新颖性; 同时也介绍了求解数学模型的MATLAB
软件、LINGO 软件和R 软件. 为了便于读者理解和掌握书中的内容, 书中
给出了部分案例的模型及其求解程序代码, 并配有适量的习题.
目录
前言第 1章绪论 ...................................................................... 1
1.
1数学模型的概念及其特点 ................................................. 1
1.
2数学模型的分类 .......................................................... 2
1.
3数学建模的基本步骤和方法 .............................................. 4
1.4数学建模和竞赛及其对大学生创新能力培养的作用.......................5
第 2章数学建模常用软件 ....................................................... 7
2.1
MATLAB软件介绍 ....................................................... 7
2.1.1
MATLAB软件的常用命令 ............................................. 7
2.1.2
MATLAB常用数据类型 ............................................... 9
2.1.3
MATLAB的矩阵运算 ................................................ 10
2.1.4
MATLAB的图形绘制 ................................................ 12
2.1.5
MATLAB基本程序设计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2
LINGO软件介绍 ........................................................ 15
2.2.1
LINGO软件的安装 .................................................. 15
2.2.2
LINGO软件的基本操作 .............................................. 16
2.2.3
LINGO语言程序设计 ................................................ 20
2.3
R软件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
2.3.1
R软件的下载安装与基本操作 ......................................... 26
2.
3.2数字与向量运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.
3.3多维数组和矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.
3.4列表与数据框 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.
3.5读、写数据文件 ...................................................... 32
2.3.6控制流
.............................................................. 35
2.3.7编写自己的函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36习题 .......................................................................... 38第 3章代数模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1投入产出模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
3.1.1投入产出模型简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.2投入产出模型的产品分配方程 ......................................... 42
3.1.3投入产出模型的产值构成方程 ......................................... 43
3.1.4列昂捷夫矩阵的存在性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
3.1.5列昂捷夫矩阵的近似估计 ............................................. 44
3.1.6投入产出模型的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
3.2马尔可夫预测模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3层次分析法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1层次分析法的基本原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
3.3.2层次分析法的基本步骤 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
3.3.3单一准则下互反判断矩阵排序向量的实用算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
3.3.4群决策排序向量简洁算法 ............................................. 61习题 .......................................................................... 63第 4章微分与差分方程模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1常微分方程模型 ......................................................... 66
4.1.1饮酒驾车模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.2交通信号灯黄灯管制模型 ............................................. 71
4.2常微分方程组模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.1传染病模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.2种群增长模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.3无干扰的男生追女生模型 ............................................. 92
4.3偏微分方程模型 ......................................................... 95
4.4差分方程模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
4.4.1差分方程及其平衡点的稳定性 ......................................... 99
4.4.2个人住房贷款模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
4.4.3蛛网模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106习题 ......................................................................... 111第 5章数学规划 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1线性规划 ............................................................... 113
5.1.1线性规划问题的数学模型及其标准形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.2线性规划问题的 LINGO软件和 MATLAB软件求解 ................... 116
5.1.3线性规划应用案例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
5.2非线性规划 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.1非线性规划问题的数学模型和基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.2凸函数 ............................................................. 124
5.2.3凸规划及其性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.4含不等式约束的非线性规划问题的最优性条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
5.2.5应用 LINGO, MATLAB软件求解非线性规划 ......................... 127
5.3整数规划 ............................................................... 128
5.3.1整数规划的例子和数学模型的一般形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3.2整数线性规划解的特点 .............................................. 131
5.3.3割平面方法和分支定界方法 .......................................... 131
5.3.4指派问题的数学模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
5.3.5应用 LINGO软件求解整数规划 ...................................... 133
5.4多目标规划 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134习题 ......................................................................... 137第 6章概率统计方法模型 ..................................................... 140
6.1概率模型与 Monte Carlo模拟 .......................................... 140
6.1.1概率模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.1.2 Monte Carlo模拟 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2报童问题与随机库存模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
6.2.1报童问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.2随机库存模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.3线性回归模型 .......................................................... 150
6.3.1多元线性回归模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
6.3.2逐步回归模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.4非线性回归模型 ........................................................ 158
6.5方差分析模型 .......................................................... 162
6.5.1样本分布的正态性检验 .............................................. 162
6.6主成分分析和因子分子模型 ............................................ 168
6.6.1主成分分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.6.2因子分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.7聚类分析 ............................................................... 175
6.7.1距离 ............................................................... 176
6.7.2谱系聚类法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177习题 ......................................................................... 180
第 7章图论模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.1基本概念 ............................................................... 186
7.1.1图及其分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.1.2顶点的次 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.1.3子图 ............................................................... 189
7.1.4连通图 ............................................................. 189
7.1.5网络 ............................................................... 190
7.1.6图的矩阵表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2最短路模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.2.1 Dijkstra算法模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.2.2 Floyd算法模型 ..................................................... 195
7.2.3 0-1规划模型 ....................................................... 197
7.3网络流模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3.1最大流模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3.2最小费用最大流模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207
7.4最优连线模型与最优环游模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.4.1最小生成树模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4.2旅行商模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217习题 ......................................................................... 222第 8章预测和决策模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224
8.1常用的单项预测模型 ................................................... 224
8.1.1时间序列预测模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224
8.1.2回归分析预测模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226
8.1.3灰色系统预测模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228
8.2组合预测模型 .......................................................... 230
8.2.1非最优的组合预测模型 .............................................. 230
8.2.2最优线性组合预测模型的建立 ........................................ 233
8.2.3最优组合预测模型的实例分析 ........................................ 234
8.3不确定型决策 .......................................................... 236
8.4风险型决策 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.4.1最大可能法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.4.2最大期望收益值准则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238
8.4.3具有样本情报的决策分析 (贝叶斯决策 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239
8.5多属性决策模型 ........................................................ 242
8.5.1多属性决策方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.5.2基于 OWA算子的多属性决策模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.5.3基于 OWA算子的多属性决策方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.6对策论模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.6.1矩阵对策的数学模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246
8.6.2矩阵对策的混合策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248
8.6.3非合作的对策模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249
8.6.4合作 n人对策 ...................................................... 252
习题 ......................................................................... 254
第 9章全国大学生数学建模竞赛真题 ......................................... 256
9.1高等教育学费标准探讨 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.1.1问题提出与分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.1.2若干模型假设 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.1.3模型符号说明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.1.4基于描述性统计量的我国高等教育学费的现状分析 ..................... 258
9.1.5高等教育学费标准确定的三种主要模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.1.6高等教育学费标准确定的三种主要模型的实证分析 ..................... 264
9.1.7模型的优缺点分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267
9.1.8高等教育学费的若干政策建议 ........................................ 267
9.2公交查询系统的最佳乘车方案研究与设计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.2.1问题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9.2.2模型假设 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9.2.3符号说明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9.2.4公汽站点之间线路选择模型 .......................................... 271
9.2.5同时考虑公汽与地铁最佳线路选择模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.2.6已知站点间步行时间的线路选择模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
9.3 DVD租赁优化方案. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293
9.3.1问题的重述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9.3.2模型假设及符号说明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294
9.3.3模型的建立及求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295
9.3.4结果分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
9.3.5模型的优缺点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304参考文献 ......................................................................... 306
1.
1数学模型的概念及其特点 ................................................. 1
1.
2数学模型的分类 .......................................................... 2
1.
3数学建模的基本步骤和方法 .............................................. 4
1.4数学建模和竞赛及其对大学生创新能力培养的作用.......................5
第 2章数学建模常用软件 ....................................................... 7
2.1
MATLAB软件介绍 ....................................................... 7
2.1.1
MATLAB软件的常用命令 ............................................. 7
2.1.2
MATLAB常用数据类型 ............................................... 9
2.1.3
MATLAB的矩阵运算 ................................................ 10
2.1.4
MATLAB的图形绘制 ................................................ 12
2.1.5
MATLAB基本程序设计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2
LINGO软件介绍 ........................................................ 15
2.2.1
LINGO软件的安装 .................................................. 15
2.2.2
LINGO软件的基本操作 .............................................. 16
2.2.3
LINGO语言程序设计 ................................................ 20
2.3
R软件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
2.3.1
R软件的下载安装与基本操作 ......................................... 26
2.
3.2数字与向量运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.
3.3多维数组和矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.
3.4列表与数据框 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.
3.5读、写数据文件 ...................................................... 32
2.3.6控制流
.............................................................. 35
2.3.7编写自己的函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36习题 .......................................................................... 38第 3章代数模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1投入产出模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
3.1.1投入产出模型简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.2投入产出模型的产品分配方程 ......................................... 42
3.1.3投入产出模型的产值构成方程 ......................................... 43
3.1.4列昂捷夫矩阵的存在性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
3.1.5列昂捷夫矩阵的近似估计 ............................................. 44
3.1.6投入产出模型的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
3.2马尔可夫预测模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3层次分析法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1层次分析法的基本原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
3.3.2层次分析法的基本步骤 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
3.3.3单一准则下互反判断矩阵排序向量的实用算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
3.3.4群决策排序向量简洁算法 ............................................. 61习题 .......................................................................... 63第 4章微分与差分方程模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1常微分方程模型 ......................................................... 66
4.1.1饮酒驾车模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.2交通信号灯黄灯管制模型 ............................................. 71
4.2常微分方程组模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.1传染病模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.2种群增长模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.3无干扰的男生追女生模型 ............................................. 92
4.3偏微分方程模型 ......................................................... 95
4.4差分方程模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
4.4.1差分方程及其平衡点的稳定性 ......................................... 99
4.4.2个人住房贷款模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
4.4.3蛛网模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106习题 ......................................................................... 111第 5章数学规划 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1线性规划 ............................................................... 113
5.1.1线性规划问题的数学模型及其标准形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.2线性规划问题的 LINGO软件和 MATLAB软件求解 ................... 116
5.1.3线性规划应用案例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
5.2非线性规划 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.1非线性规划问题的数学模型和基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.2凸函数 ............................................................. 124
5.2.3凸规划及其性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.4含不等式约束的非线性规划问题的最优性条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
5.2.5应用 LINGO, MATLAB软件求解非线性规划 ......................... 127
5.3整数规划 ............................................................... 128
5.3.1整数规划的例子和数学模型的一般形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3.2整数线性规划解的特点 .............................................. 131
5.3.3割平面方法和分支定界方法 .......................................... 131
5.3.4指派问题的数学模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
5.3.5应用 LINGO软件求解整数规划 ...................................... 133
5.4多目标规划 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134习题 ......................................................................... 137第 6章概率统计方法模型 ..................................................... 140
6.1概率模型与 Monte Carlo模拟 .......................................... 140
6.1.1概率模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.1.2 Monte Carlo模拟 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2报童问题与随机库存模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
6.2.1报童问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.2随机库存模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.3线性回归模型 .......................................................... 150
6.3.1多元线性回归模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
6.3.2逐步回归模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.4非线性回归模型 ........................................................ 158
6.5方差分析模型 .......................................................... 162
6.5.1样本分布的正态性检验 .............................................. 162
6.6主成分分析和因子分子模型 ............................................ 168
6.6.1主成分分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.6.2因子分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.7聚类分析 ............................................................... 175
6.7.1距离 ............................................................... 176
6.7.2谱系聚类法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177习题 ......................................................................... 180
第 7章图论模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.1基本概念 ............................................................... 186
7.1.1图及其分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.1.2顶点的次 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.1.3子图 ............................................................... 189
7.1.4连通图 ............................................................. 189
7.1.5网络 ............................................................... 190
7.1.6图的矩阵表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2最短路模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.2.1 Dijkstra算法模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.2.2 Floyd算法模型 ..................................................... 195
7.2.3 0-1规划模型 ....................................................... 197
7.3网络流模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3.1最大流模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3.2最小费用最大流模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207
7.4最优连线模型与最优环游模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.4.1最小生成树模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4.2旅行商模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217习题 ......................................................................... 222第 8章预测和决策模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224
8.1常用的单项预测模型 ................................................... 224
8.1.1时间序列预测模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224
8.1.2回归分析预测模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226
8.1.3灰色系统预测模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228
8.2组合预测模型 .......................................................... 230
8.2.1非最优的组合预测模型 .............................................. 230
8.2.2最优线性组合预测模型的建立 ........................................ 233
8.2.3最优组合预测模型的实例分析 ........................................ 234
8.3不确定型决策 .......................................................... 236
8.4风险型决策 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.4.1最大可能法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.4.2最大期望收益值准则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238
8.4.3具有样本情报的决策分析 (贝叶斯决策 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239
8.5多属性决策模型 ........................................................ 242
8.5.1多属性决策方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.5.2基于 OWA算子的多属性决策模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.5.3基于 OWA算子的多属性决策方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.6对策论模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.6.1矩阵对策的数学模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246
8.6.2矩阵对策的混合策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248
8.6.3非合作的对策模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249
8.6.4合作 n人对策 ...................................................... 252
习题 ......................................................................... 254
第 9章全国大学生数学建模竞赛真题 ......................................... 256
9.1高等教育学费标准探讨 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.1.1问题提出与分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.1.2若干模型假设 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.1.3模型符号说明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.1.4基于描述性统计量的我国高等教育学费的现状分析 ..................... 258
9.1.5高等教育学费标准确定的三种主要模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.1.6高等教育学费标准确定的三种主要模型的实证分析 ..................... 264
9.1.7模型的优缺点分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267
9.1.8高等教育学费的若干政策建议 ........................................ 267
9.2公交查询系统的最佳乘车方案研究与设计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.2.1问题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9.2.2模型假设 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9.2.3符号说明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9.2.4公汽站点之间线路选择模型 .......................................... 271
9.2.5同时考虑公汽与地铁最佳线路选择模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.2.6已知站点间步行时间的线路选择模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
9.3 DVD租赁优化方案. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293
9.3.1问题的重述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9.3.2模型假设及符号说明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294
9.3.3模型的建立及求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295
9.3.4结果分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
9.3.5模型的优缺点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304参考文献 ......................................................................... 306
