- 科学出版社
- 9787030854834
- 1版
- B5
- 2026-07
作者简介
内容简介
微分方程数值解法是现代数学体系里解决实际问题的核心工具，也逐渐成为高校数学专业的一门重要课程。本教材分为常微分方程数值解法和偏微分方程数值解法两个联系非常紧密的部分，共九章。第一部分为常微分方程数值解法，包含三章，分别是常微分方程数值解法基础、刚性问题的数值解法和哈密顿系统的辛算法。第二部分是偏微分方程数值解法，包含六章，分别介绍椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程的数值解法。掌握一定的数值分析、泛函分析及数学物理方程的理论和方法无疑有助于本课程的深入学习。
目录
目录
前言
第1章 常微分方程数值解法基础 1
1.1 引论 1
1.2 从Euler法到线性θ-方法 2
1.3 线性多步方法 6
1.3.1 数值积分法 7
1.3.2 待定系数法 15
1.3.3 多步方法的计算问题 19
1.4 Runge-Kutta方法 19
1.4.1 Runge-Kutta方法的一般形式 20
1.4.2 显式Runge-Kutta方法 22
1.4.3 隐式Runge-Kutta方法 27
1.5 一般多步方法的相容性和稳定性 32
1.5.1 相容性 33
1.5.2 稳定性 34
1.5.3 收敛性 36
1.5.4 绝对稳定性 37
1.6 算例和注记 43
1.6.1 算例 43
1.6.2 注记 45
1.7 习题 45
第2章 刚性问题的数值解法 49
2.1 刚性问题——引论 49
2.2 线性刚性问题 53
2.2.1 与刚性相关的线性稳定性定义 53
2.2.2 刚性稳定的数值方法 55
2.3 非线性刚性问题 58
2.3.1 隐式Runge-Kutta方法的B稳定性 58
2.3.2 代数稳定性 60
2.3.3 B收敛性 61
2.3.4 隐式Runge-Kutta方法的B收敛 65
2.4 算例和注记 68
2.4.1 算例 68
2.4.2 注记 70
2.5 习题 71
第3章 哈密顿系统的辛算法 74
3.1 引论 74
3.2 辛几何与辛代数的基本概念 75
3.3 线性哈密顿系统的辛差分格式 78
3.4 辛Runge-Kutta方法 81
3.5 算例和注记 84
3.5.1 算例 84
3.5.2 注记 86
3.6 习题 87
第4章 椭圆型方程的有限差分法 88
4.1 引论 88
4.2 差分逼近的基本概念 89
4.3 两点边值问题的非等距差分格式 93
4.3.1 直接差分法 93
4.3.2 有限体积法 95
4.3.3 边界条件的处理 96
4.4 二维椭圆边值问题的差分格式 97
4.4.1 五点差分格式 98
4.4.2 九点差分格式 101
4.4.3 边值条件的处理 104
4.5 极值原理与敛速估计 105
4.5.1 差分方程 105
4.5.2 极值原理 107
4.5.3 五点差分格式的敛速估计 109
4.6 极坐标形式下的差分格式 110
4.7 算例和注记 112
4.7.1 算例 112
4.7.2 注记 115
4.8 习题 115
第5章 椭圆型方程的有限元法 121
5.1 引论 121
5.2 两点边值问题的有限元法 122
5.2.1 Ritz法导出有限元法 122
5.2.2 Galerkin方法导出有限元方程 126
5.3 线性有限元法的误差估计 132
5.3.1 H1-估计 132
5.3.2 L2-估计 134
5.4 一维高次元 136
5.4.1 再论线性元——一次元 136
5.4.2 二次元 137
5.5 二维问题的有限元法 140
5.5.1 三角形元 141
5.5.2 二维椭圆问题的有限元法 144
5.6 算例和注记 150
5.6.1 算例 150
5.6.2 注记 161
5.7 习题 161
第6章 抛物型方程的有限差分法 165
6.1 引论 165
6.2 基本差分格式 166
6.2.1 向前差分格式 166
6.2.2 向后差分格式 167
6.2.3 Crank-Nicolson格式 168
6.2.4 线方法 170
6.2.5 Richardson格式 171
6.2.6 高维问题的差分格式 172
6.3 稳定性与收敛性 173
6.3.1 稳定性概念 173
6.3.2 稳定性分析的直接方法——矩阵分析法 174
6.3.3 收敛性和误差估计 178
6.4 稳定性分析的Fourier方法 180
6.5 高维问题的分数步方法 186
6.5.1 ADI法 186
6.5.2 预-校算法 189
6.5.3 LOD法 190
6.6 算例和注记 190
6.6.1 算例 190
6.6.2 注记 194
6.7 习题 195
第7章 抛物型方程的有限元法 198
7.1 引论 198
7.2 初边值问题的空间有限元逼近 198
7.2.1 初边值问题与弱形式 198
7.2.2 空间有限元半离散逼近 200
7.3 基于空间有限元的时空全离散方法 205
7.3.1 θ-方法 206
7.3.2 不连续Galerkin方法 216
7.4 半线性抛物型方程的有限元法 217
7.4.1 光滑数据下的半离散误差估计 217
7.4.2 非光滑数据下的半离散误差估计 221
7.4.3 向后Euler-Galerkin方法 229
7.5 算例和注记 234
7.5.1 算例 234
7.5.2 注记 242
7.6 习题 242
第8章 双曲型方程的有限差分法 245
8.1 引论 245
8.2 一阶拟线性双曲型方程的特征线法 248
8.2.1 一阶线性双曲型方程的特征线法 248
8.2.2 一阶拟线性双曲型方程的正规形式 250
8.3 一阶双曲型方程的差分格式 254
8.3.1 迎风格式 254
8.3.2 积分守恒差分格式 257
8.3.3 黏性差分格式 260
8.3.4 隐式格式 262
8.4 二阶双曲型方程的差分格式 262
8.4.1 波动方程及其特征 263
8.4.2 显式格式 264
8.4.3 稳定性分析 266
8.4.4 隐式格式 269
8.5 边界条件处理和对流占优扩散方程 269
8.5.1 一阶双曲型方程的初边值问题 269
8.5.2 对流占优扩散方程 271
8.6 算例和注记 273
8.6.1 算例 273
8.6.2 注记 276
8.7 习题 277
第9章 双曲守恒律的数值解法 281
9.1 引论 281
9.2 标量守恒律的基本理论 282
9.2.1 冲击波的形成 283
9.2.2 弱解 285
9.2.3 RH跳跃条件 290
9.2.4 熵条件 292
9.2.5 守恒律方程的解 294
9.3 双曲守恒律的差分格式 296
9.3.1 相容性 296
9.3.2 守恒格式 298
9.3.3 显式格式 302
9.3.4 隐式格式 307
9.4 算例和注记 308
9.4.1 算例 308
9.4.2 注记 311
9.5 习题 312
参考文献 314
前言
第1章 常微分方程数值解法基础 1
1.1 引论 1
1.2 从Euler法到线性θ-方法 2
1.3 线性多步方法 6
1.3.1 数值积分法 7
1.3.2 待定系数法 15
1.3.3 多步方法的计算问题 19
1.4 Runge-Kutta方法 19
1.4.1 Runge-Kutta方法的一般形式 20
1.4.2 显式Runge-Kutta方法 22
1.4.3 隐式Runge-Kutta方法 27
1.5 一般多步方法的相容性和稳定性 32
1.5.1 相容性 33
1.5.2 稳定性 34
1.5.3 收敛性 36
1.5.4 绝对稳定性 37
1.6 算例和注记 43
1.6.1 算例 43
1.6.2 注记 45
1.7 习题 45
第2章 刚性问题的数值解法 49
2.1 刚性问题——引论 49
2.2 线性刚性问题 53
2.2.1 与刚性相关的线性稳定性定义 53
2.2.2 刚性稳定的数值方法 55
2.3 非线性刚性问题 58
2.3.1 隐式Runge-Kutta方法的B稳定性 58
2.3.2 代数稳定性 60
2.3.3 B收敛性 61
2.3.4 隐式Runge-Kutta方法的B收敛 65
2.4 算例和注记 68
2.4.1 算例 68
2.4.2 注记 70
2.5 习题 71
第3章 哈密顿系统的辛算法 74
3.1 引论 74
3.2 辛几何与辛代数的基本概念 75
3.3 线性哈密顿系统的辛差分格式 78
3.4 辛Runge-Kutta方法 81
3.5 算例和注记 84
3.5.1 算例 84
3.5.2 注记 86
3.6 习题 87
第4章 椭圆型方程的有限差分法 88
4.1 引论 88
4.2 差分逼近的基本概念 89
4.3 两点边值问题的非等距差分格式 93
4.3.1 直接差分法 93
4.3.2 有限体积法 95
4.3.3 边界条件的处理 96
4.4 二维椭圆边值问题的差分格式 97
4.4.1 五点差分格式 98
4.4.2 九点差分格式 101
4.4.3 边值条件的处理 104
4.5 极值原理与敛速估计 105
4.5.1 差分方程 105
4.5.2 极值原理 107
4.5.3 五点差分格式的敛速估计 109
4.6 极坐标形式下的差分格式 110
4.7 算例和注记 112
4.7.1 算例 112
4.7.2 注记 115
4.8 习题 115
第5章 椭圆型方程的有限元法 121
5.1 引论 121
5.2 两点边值问题的有限元法 122
5.2.1 Ritz法导出有限元法 122
5.2.2 Galerkin方法导出有限元方程 126
5.3 线性有限元法的误差估计 132
5.3.1 H1-估计 132
5.3.2 L2-估计 134
5.4 一维高次元 136
5.4.1 再论线性元——一次元 136
5.4.2 二次元 137
5.5 二维问题的有限元法 140
5.5.1 三角形元 141
5.5.2 二维椭圆问题的有限元法 144
5.6 算例和注记 150
5.6.1 算例 150
5.6.2 注记 161
5.7 习题 161
第6章 抛物型方程的有限差分法 165
6.1 引论 165
6.2 基本差分格式 166
6.2.1 向前差分格式 166
6.2.2 向后差分格式 167
6.2.3 Crank-Nicolson格式 168
6.2.4 线方法 170
6.2.5 Richardson格式 171
6.2.6 高维问题的差分格式 172
6.3 稳定性与收敛性 173
6.3.1 稳定性概念 173
6.3.2 稳定性分析的直接方法——矩阵分析法 174
6.3.3 收敛性和误差估计 178
6.4 稳定性分析的Fourier方法 180
6.5 高维问题的分数步方法 186
6.5.1 ADI法 186
6.5.2 预-校算法 189
6.5.3 LOD法 190
6.6 算例和注记 190
6.6.1 算例 190
6.6.2 注记 194
6.7 习题 195
第7章 抛物型方程的有限元法 198
7.1 引论 198
7.2 初边值问题的空间有限元逼近 198
7.2.1 初边值问题与弱形式 198
7.2.2 空间有限元半离散逼近 200
7.3 基于空间有限元的时空全离散方法 205
7.3.1 θ-方法 206
7.3.2 不连续Galerkin方法 216
7.4 半线性抛物型方程的有限元法 217
7.4.1 光滑数据下的半离散误差估计 217
7.4.2 非光滑数据下的半离散误差估计 221
7.4.3 向后Euler-Galerkin方法 229
7.5 算例和注记 234
7.5.1 算例 234
7.5.2 注记 242
7.6 习题 242
第8章 双曲型方程的有限差分法 245
8.1 引论 245
8.2 一阶拟线性双曲型方程的特征线法 248
8.2.1 一阶线性双曲型方程的特征线法 248
8.2.2 一阶拟线性双曲型方程的正规形式 250
8.3 一阶双曲型方程的差分格式 254
8.3.1 迎风格式 254
8.3.2 积分守恒差分格式 257
8.3.3 黏性差分格式 260
8.3.4 隐式格式 262
8.4 二阶双曲型方程的差分格式 262
8.4.1 波动方程及其特征 263
8.4.2 显式格式 264
8.4.3 稳定性分析 266
8.4.4 隐式格式 269
8.5 边界条件处理和对流占优扩散方程 269
8.5.1 一阶双曲型方程的初边值问题 269
8.5.2 对流占优扩散方程 271
8.6 算例和注记 273
8.6.1 算例 273
8.6.2 注记 276
8.7 习题 277
第9章 双曲守恒律的数值解法 281
9.1 引论 281
9.2 标量守恒律的基本理论 282
9.2.1 冲击波的形成 283
9.2.2 弱解 285
9.2.3 RH跳跃条件 290
9.2.4 熵条件 292
9.2.5 守恒律方程的解 294
9.3 双曲守恒律的差分格式 296
9.3.1 相容性 296
9.3.2 守恒格式 298
9.3.3 显式格式 302
9.3.4 隐式格式 307
9.4 算例和注记 308
9.4.1 算例 308
9.4.2 注记 311
9.5 习题 312
参考文献 314
