目录


译者序

前言

致谢







第一部分线性代数


第1章线性代数与有限维向量空间2

11矩阵回顾2

12线性无关与线性相关3

13张成和基9

14分解向量空间为直和13

15数量积16

16正交性与格拉姆施密特正交化17

17正交补24

18基变换和正交矩阵29

习题33



第2章线性变换41

21线性变换概念41

22线性变换的基变换46

23投影张量52

24正交投影56

25不变子空间61

251零空间61

252值域62

253一维不变子空间66

习题67

第3章线性变换在方程组中的应用71

31值域的正交补和零空间71


32弗雷德霍姆选择定理——
第一次审视74

33当A的行列式为0时的

“最佳解”79

331满足可解性条件79

332不满足可解性条件80

34正规方程82

35广义逆——第一次审视85

351与最小二乘数据拟合的

关系88

352应用：拟合橡胶的应力拉
伸数据89

习题94

第4章特征值的谱99

41特征值和特征向量99

42特征空间104

421对角化105

422应用：弹簧与质量网络的
振动108

43长方形矩阵和奇异值113

44弗雷德霍姆选择定理——
第二次审视118

441弗雷德霍姆选择定理对
Rn→Rm的推广118

442弗雷德霍姆选择定理与
奇异值的关系120

45奇异值分解125

46广义逆——第二次审视131

461与长方形矩阵的奇异值分解
的关系133


462应用：滤除线性系统中
的噪声136

关于线性代数的进一步阅读140

习题141

第二部分复变量



第5章复变量的基本概念148

51复数概述及其简要历史148

52复数及其运算153

53平面几何解释：z平面156

54在复平面上的积分162

55非平面几何解释：黎曼球面166

56复分析中的点对代数172

习题177

第6章单复变量的解析函数181

61一些标准复函数181

62复函数映射——第一次审视186

63解析函数192

631导数193

632柯西黎曼方程195

64调和函数198

65在流体力学中的应用：势流200

651二维稳定流204

652流场中的物体206

66复函数映射——第二次审视：
施瓦茨克里斯托费尔变换208

661作为坐标变换的映射208

662开映射211

663闭映射215

664变换218

习题225

第7章柯西积分定理233

71解析函数与非解析函数的
积分233

711柯西古萨定理234

712柯西古萨定理对于路径
积分计算的结果235

72不定积分——原函数240

73柯西积分公式245

74解析函数导数的路径积分249

75单位圆中的调和函数251

76应用:拉普拉斯逆变换253

77势流再论：流动流体所施加
的力259

习题270

第8章级数展开和路径积分278

81泰勒级数278

82洛朗级数282

83留数和留数定理288

84包围各种极点的路径积分293

85可以计算实积分的复路径
积分299

86分支和分支切割304

861分支映射304

862带分支的积分：椭圆积分311

863带分支的积分：多项式、
对数和分数幂313

864带分支的积分：拉普拉斯
逆变换317

87路径积分的高级主题319

871复傅里叶变换320

872积分路径上的奇点：普莱
梅利公式322

873解析延拓327

关于复变量的进一步阅读333

习题334


第三部分偏微分方程


第9章线性偏微分方程342

91平衡和稳态343

911变量分离、特征值和特征
函数348

912带参数的边界值问题和
非平凡解349

92时间相关过程的偏微分方程及
特征值的作用350

93亥姆霍兹方程的特征函数和
特征值的性质356

931瑞利商：特征函数和特
征值的结果357

932正交函数集358

933正交函数的完备集361

94用瑞利商近似特征值362

95非笛卡儿坐标下的变量分离368

96稳态极限、瞬变衰减、无限域
和相似解375

习题380

第10章线性常微分方程387

101线性常微分方程基本概念
回顾387

102复平面上的微分方程391

1021线性常微分方程的
泰勒展开解392

1022线性常微分方程的弗罗贝
尼乌斯展开解397

103特殊函数403

1031贝塞尔函数408

1032勒让德多项式416

1033通常不作为特征函数出现
的特殊函数423

104二阶常微分方程的施图姆
刘维尔公式428

习题433

第11章常微分方程的格林函数440

111狄拉克函数δ（x-xo）441

1111数学基础441

1112狄拉克δ函数作为单位
脉冲446

112格林函数450

113线性微分算子的伴随456

1131线性代数背景和类比457

1132伴随的正式定义和一个
例子458

114微分算子的弗雷德霍姆选择
定理460

习题469

第12章泊松方程和格林函数473

121扩散过程:泊松方程474

122拉普拉斯方程、泊松方程的
一般特征及其解476

123泊松方程的格林函数487

1231自由空间格林函数489

1232有限和半无限域上的格林
函数491

124半平面上的问题493

1241源和汇的图像法494

1242使用复分析的格林函数499

125有限域上狄利克雷问题对称性
和叠加性的探讨502

126正方形区域中的格林函数:
后拉和前推507

习题511

第13章格林函数和特征函数的组合
方法515

131振动理论和简正模515

132修正格林函数520

1321无共振分量的共振强迫521

1322应用:绷紧弦的强迫
谐振523

133运用施图姆刘维尔公式528

1331完备性529

1332与激发（本源）物理模型
的数学联系529

1333施图姆刘维尔算子的格林
函数531

134施图姆刘维尔公式和弗雷
德霍姆选择定理535

135复路径积分和特征函数展开
的更深联系540

136偏微分方程的应用：一个
总结示例550

关于偏微分方程以及更多主题的
进一步阅读556

习题558

参考文献562